【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）233 【解析】
分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；
（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；
（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长. 详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC， ∴AC=BC． （2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC， ∴AI⊥BC， ∴BI=IC， ∵AC=BC， ∴IC=
1AC， 2∴∠IAC=30°，
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB． ∵FC是直径， ∴∠FAC=90°，
∴∠ACF=180°-90°-60°=30°． （3）过点D作DG?AB，连接AO
由（1）（2）知ABC为等边三角形 ∵∠ACF=30°， ∴AB?CF， ∴AE=BE， ∴SΔABC?3AB2?273， 4∴AB=63， ∴AE?33．
在RtΔAEO中，设EO=x，则AO=2x， ∴AO2?AE2?OE2， ∴?2x??332??2?x2，
∴x=6，⊙O的半径为6， ∴CF=12．
∵SΔABD?AB?DG?∴DG=2．
如图，过点D作DG??CF,连接OD． ∵AB?CF,DG?AB， ∴CF//DG，
∴四边形G′DGE为矩形， ∴G?E?2，
11?63?DG??63， 22CG??G?E?CE?6?3?2?11，
在RtΔOG?D中，OG??5,OD?6，
∴DG??11， ∴CD?DG?2?CG?2?11?112?233 点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等
相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.
8．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
?的长为(2)若CD13π，求“回旋角”∠CPD的度数； 4(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．
【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23． 【解析】 【分析】
（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝
1∠COD＝22.5°， 2得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G， 利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可 【详解】
∠CPD是直径AB的“回旋角”， 理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”； (2)如图1，∵AB＝26， ∴OC＝OD＝OA＝13， 设∠COD＝n°，
?的长为∵CD13π， 4n?n1313?? 1804∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
∴
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE， ∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴点D，P，E三点共线， ∴∠CED＝
1∠COD＝22.5°， 2∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠APD＝∠BPC＝67.5°， ∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF， ∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上， ∵直径AB的“回旋角”为120°， ∴∠APD＝∠BPC＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△PCF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， 连接OC，OD， ∴∠COD＝120°， 过点O作OG⊥CD于G， ∴CD＝2DG，∠DOG＝
1∠COD＝60°， 2∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝∴CD＝13?3，
∵△PCD的周长为24+13?3， ∴PD+PC＝24， ∵PC＝PF， ∴PD+PF＝DF＝24， 过O作OH⊥DF于H，
13?3 2∴DH＝
1DF＝12， 2在Rt△OHD中，OH＝OD2?DH2?5 在Rt△OHP中，∠OPH＝30°， ∴OP＝10， ∴AP＝OA﹣OP＝3； ②当点P在半径OB上时， 同①的方法得，BP＝3， ∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
【点睛】
本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE （1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH， ①△CBH∽△OBC ②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5. 【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
2020-2021中考数学压轴题专题复习 - 圆的综合的综合含详细答案
