直线的一般式方程及综合
【学习目标】
1．掌握直线的一般式方程；
2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；
3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】
要点一：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为y??C?ACA?x?，它表示过点?0,??，斜率为?的直线．
B?BBB?当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即x??C，它表示一条与x轴垂直的直线． A由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是x?11） y??0，还可以是4x―2y+2=0等．
22要点二：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程的形式 y―y1=k(x―x1) y=kx+b 常数的几何意义 （x1，y1）是直线上一定点，k是斜率 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点 适用范围 不垂直于x轴 不垂直于x轴 不垂直于x轴和y轴 y?y1x?x1? y2?y1x2?x1截距式 一般式 xy??1 abAx+By+C=0（A2+B2≠0） a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 A、B、C为系数 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 任何位置的直线 要点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,
l1//l2??1??2?k1?k2(b1?b2)；
l1?l2??1??2??2?tan?1??cot?2?k1??1?k1k2??1 k2于是与直线y?kx?b平行的直线可以设为y?kx?b1；垂直的直线可以设为y??（2）从一般式考虑：
1x?b2． kl1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0 0 l1?l2?A1A2?B1B2? l1//l2?A1B2?A2B?且A1C2?A2C1?0或B1C2?B2C1?0，记忆式（10A1B1C1??） A2B2C2 l1与l2重合，A1B2?A2B1?0，A1C2?A2C1?0，B1C2?B2C1?0
于是与直线Ax?By?C?0平行的直线可以设为Ax?By?D?0；垂直的直线可以设为
Bx?Ay?D?0.
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是?1，经过点A（8，―2）； 23，―3； 2（2）经过点B（4，2），平行于x轴； （3）在x轴和y轴上的截距分别是
（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．
【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）x?y?1?0 【解析】 （1）由点斜式方程得y?(?2)??1(x?8)，化成一般式得x+2y―4=0． 2（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0． （3）由截距式得
xy??1，化成一般式得2x―y―3=0． 3?32y?2x?3?，化成一般式方程为x?y?1?0．
?4?(?2)5?3（4）由两点式得
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
举一反三：
【变式1】已知直线l经过点B(3,?1)，且倾斜角是30?，求直线的点斜式方程和一般式方程. 【答案】y?1?3(x?3) 33x?3y?33?3?0
【解析】因为直线倾斜角是30?，所以直线的斜率k?tan??tan30??为：y?1?3，所以直线的点斜式方程33(x?3)，化成一般式方程为：3x?3y?33?3?0. 3例2．?ABC的一个顶点为A(?1,?4)，?B、?C 的平分线在直线y?1?0和x?y?1?0上，求直线BC的方程. 【答案】x?2y?3?0
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A点关于?B的平分线的对称点A在BC上，B点关于?C的平分线 的对称点B也在BC上．写出直线AB的方程，即为直线BC的方程.
例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l的方程． 【答案】3x+4y―11=0 【解析】
解法一：设直线l的斜率为k，∵l与直线3x+4y+1=0平行，∴k??又∵l经过点（1，2），可得所求直线方程为y?2??''''3． 43(x?1)，即3x+4y―11=0． 4解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0， ∵l经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3x+4y―11=0． 【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．
（2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=0． （3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A，B不同时为零）． 举一反三：
【变式1】已知直线l1：3mx+8y+3m-10=0 和 l2：x+6my-4=0 .问 m为何值时: （1）l1与l2平行（2）l1与l2垂直. 【答案】（1）m??2（2）m?0 3【解析】当m?0时，l1：8y-10=0；l2：x-4=0，l1?l2
3m10?3m14；l2：y?? x?x?886m6m210?3m4283m1由?，得m??，由得m?或 ???386m3386m3m1而(?)?(?)??1无解
86m2综上所述（1）m??，l1与l2平行．（2）m?0，l1与l2垂直．
3当m?0时，l1：y??【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l的方程． 【答案】x－2y=0
【解析】因为直线l与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l的方程为x?2y?m?0，把点A（2，1）代入直线l的方程得：m?0，所以直线l的方程为：x－2y=0．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．已知直线l的倾斜角的正弦值为
3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程． 5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出
1|ab|?6，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可． 233【答案】y?x?3或y??x?3
44【解析】
33，得tan???． 5434设l的方程为y??x?b，令y=0，得x??b．
43解法一：设l的倾斜角为?，由sin??∴直线l与x轴、y轴的交点分别为???4?b,0?，（0，b）． ?3?∴S??142?b?|b|?b2?6，即b2=9，∴b=±3． 23333x?3或y??x?3． 44xy33解法二：设直线l的方程为??1，倾斜角为?，由sin??，得tan???．
ab54故所求的直线方程分别为y??1|a|?|b|?6??a??4?2∴?，解得?．
b3b??3??????4?a故所求的直线方程为
xyxy??1或??1． ?43?43【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
举一反三： 【变式1】（2015春 启东市期中）已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0． （1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程； （2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程． 【思路点拨】（1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；
（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【答案】（1）x+2y―4=0；（2）
【解析】（1）由??2x?y?3?0?x?2，解得?，
?x?y?3?0?y?1即两直线m，n交点坐标为（2，1），
设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0， 则2+2×1+c=0，解得c=―4，
则对应的直线方程为x+2y―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0）， 则对应的直线方程为y―1=k(x―2)，
令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k）
12k?12k?1，即与x轴的交点坐标为B(?,0)，
kkk12k?1则△AOB的面积S??|||1?2k|?4，
2k令y=0，则x?2?即(2k?1)?8k， 即4k?4k?8k?1?0，
若k＞0，则方程等价为4k?12k?1?0， 解得k?2223?223?22或k?， 222若k＜0，则方程等价为4k?4k?1?0， 解得k??1． 23?223?221(x?2)，或y?1?(x?2) (x?2) ，或y?1?222综上直线的方程为y?1??
高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
