解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x
依题意，得：
1x22x=35 x2=35 x=35 2所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
22 PQ=PB?BQ?x2?4x2?5x2?5?35=57 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米． 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
解：由勾股定理，得 AB=AD2?BD2?42?22?20=25 BC=BD2?CD2?22?12=5
所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈332.24+7≈13.7（m）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．）
三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展
若最简根式3a?b4a?3b与根式2ab2?b3?6b2是同类二次根式，求a、b的值．
注：（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式
2ab2?b3?6b2不是最简二次根式，因此把2ab2?b3?6b2化简成|b|22a?b?6，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式2ab2?b3?6b2化为最简二次根式：
2ab2?b3?6b2=b2(2a?1?6)=|b|22a?b?6 由题意得?4a?3b?2a?b?6 ∴?2a?4b?6 ∴a=1，b=1
??3a?b?2??3a?b?2五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）． A．52 B．50 C．25 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的
对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米． A．13100 B．1300 C．1013 D．513 （二）、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，?鱼塘的宽是_______m．
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2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是________． （三）、综合提高题 1．若最简二次根式223m2?2与n?14m2?10是同类二次根式，求m、n的值． 32．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2， 5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （2-1）2=（2）2-22122+12=2-22+1=3-22
反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）2 ∴3?22=2-1 求：（1）3?22； （2）4?23；（3）你会算4?12吗？
（4）若a?2b=m?n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 六、反思及感想：
22.3 二次根式的加减(3)
教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相
乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学过程
一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y）2zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式3单项式；（2）单项式
3多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．
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整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
自探2.计算：（1）（6+8）33 （2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 自探3. 计算：（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x?b=2-x?a，其中a、b是实数，且a+b≠0，
ab化简x?1?x?1?x+xx?1?x?1?x，并求值． x 分析：由于（x?1+（x?1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解x）含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
(x?1?x)2(x?1?x)2解：原式=+
(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)2(x?1?x)2=+ =（x+1）+x-2x(x?1)+x+2x(x?1) =4x+2
(x?1)?x(x?1)?x ∵
x?bx?a=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ba ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．（24-315+222）32的值是（ ）．
3 A．2033-330 B．330-233 C．230-233 D．2033-30 2．计算（x+ （二）、填空题 1．（-1+2（x-x?1）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1 x?1）3）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
22．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．
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（三）、综合提高题 1．化简10?5?14?715?
211x?1?x2?xx?1?x2?x 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）
222?1x?1?x?xx?1?x?x六、反思及感想：
23.1 一元二次方程
教学目标：
1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax?bx?c?0（a≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程
是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点：
1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做：
1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1） 2．问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5（1＋x）2=7.2,
整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2） 3．思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
二、 一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固
1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
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22
x?2?1?x2222x?4?(x?2)3x?2?5x?3x?4x?1（1） （2） （3） （4）
2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
226y?y(x?3)(3x?4)?(x?2)1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）
说明： 一元二次方程的一般形式ax?bx?c?0（a≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由教师归纳。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。 分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2 2x?2?3x 2x(x-1)=3(x-5)-4 ?2y?1???y?1???y?3??y?2?
2222(m?3)x?nx?m?0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一x练习二 关于的方程
次方程？
本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为ax?bx?c?0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。 布置作业：课本第27页习题1、2、3
2
23.2.2一元二次方程的解法
教学目标：
2a(x?k)?b（a≠0,ab≥0）的方程； 1、会用直接开平方法解形如
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 重点难点：
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程：
?x?1?问：怎样解方程
2?256的？
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2018-2019华东师大版九年级数学上全册教案
