数 列 复 习
1、数列中an与Sn之间的关系: ,(n?1)?S1an??注意通项能否合并。
S?S,(n?2).n?1?n2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an?1=d ,(n≥2,n∈N),那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数a、A、b成等差数列?A??a?b 2⑶通项公式:an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数).
n?n?1?n?a1?an?d?⑷前n项和公式:Sn?na1? 22⑸常用性质:
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??,则am?an?ap?aq; ②数列??an?b?(?,b为常数)仍为等差数列;
③若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、,…也成等差数列。 {ap?nq}(p,q?N*)、
④单调性:?an?的公差为d,则:
ⅰ)d?0??an?为递增数列; ⅱ)d?0??an?为递减数列; ⅲ)d?0??an?为常数列;
⑤数列{an}为等差数列?an?pn?q(p,q是常数)
⑥若等差数列?an?的前n项和Sn,则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等差数列。 3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
G、b成等比数列?G?ab,(ab同号)⑵等比中项:若三数a、。反之不一定成立。
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n?1n?m⑶通项公式:an?a1q?amq
⑷前n项和公式:Sn?⑸常用性质
a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??,则am?an?ap?aq;
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列,公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列??an?(?为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列?an?;则
k?lgan?是公差为lgq的等差数列;
④若?an?是等比数列,则?can?, ?an,2???1? ?,?an?2r1,q. ?a?(r?Z)是等比数列,公比依次是q,q,qrn⑤单调性:
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列;
a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列; q?1??an?为常数列; q?0??an?为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列?an?的前n项和Sn,则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等比数列. 4、求an
类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
1.如:?an?满足
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111a1?2a2?……?nan?2n?5222?1?
类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列?an?的通项an可用
,(n?1)?S1公式 an??构造两式作差求解。
S?S,(n?2)n?1?n1.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10,求数列{an}的通项公式。
2.设{an}是公比为正数的等比数列,a1?2,a3?a2?4,求{an}的通项公式
3.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
24.已知数列{an}的前n项和Sn?n?1,求{an}的通项公式
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5.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2设bn?an?1?2an,证明数列,
{bn}是等比数列
类型Ⅲ 累加法: 形如an?1?an?f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造:
n?11.数列?an?,a1?1,an?3?an?1?n?2?,求an
2.已知数列?an?满足a1?
类型Ⅳ 累乘法: 形如an?1?an?f(n)?11,an?1?an?2,求an 2n?n?an?1??f(n)?型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) ?an?an?1n?,求an ann?11:例如:数列?an?中,a1?3,
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2.已知a1?3,an?1?
类型Ⅴ 待定系数法: 形如an?1?pan?q(其中p,q均为常数且p?0)型的递推式: 1.已知数列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求an.
2.设数列?an?:a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2),求an.
3.已知数列?an?满足a1?1,an?3n?2an?1 (n?2),求an.
3n?1an (n?1),求an 3n?2 第5页
数列常见求通项与求和方法
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