7.3.3 余弦函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：1.借助单位圆理解余弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单调性等性质.2.能用五点法画出余弦函数的图像，利用诱导公式和正弦函数图像的平移得到余弦函数的图像，利用图像研究余弦函数的性质．
教学重点：掌握余弦函数的性质． 教学难点：余弦函数性质的综合运用.
【知识导学】
知识点一 余弦函数的图像
(1)对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y＝cosx是一个函数，
01余弦函数，函数y＝cosx的图像称为□02余弦曲线． 一般称为□(2)余弦曲线
知识点二 余弦函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 y＝cosx 01R □02[－1,1] □03偶函数 □042kπ(k∈Z，k≠0)为周期，□052π为最小正周期 以□06[(2k－1)π，07[2kπ，当x∈□2kπ](k∈Z)时，递增；当x∈□(2k＋1)π](k∈Z)时，递减 最大值与最小值 【新知拓展】
1．用“五点法”和变换法作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像，求这个函数的最大值、最小值、周期以及单调区间等，方法与y＝Asin(ωx＋φ)是类似的．
π2．余弦曲线y＝cosx是把正弦曲线向左平移个单位长度而得到的，相应地，对称中心、
2π
对称轴、单调区间都是向左平移个单位长度，可以结合正弦曲线来掌握余弦曲线的特性．由
2于是曲线向左平移，周期性不改变，最值不改变．
- 1 -
082kπ(k∈Z)时，最大值为□091；当x＝□10(2k＋1)π(k当x＝□11－1 ∈Z)时，最小值为□3．(1)函数y＝sin(x＋φ) 当φ＝kπ时是奇函数； 当φ＝π
2＋kπ时是偶函数．
(2)函数y＝cos(x＋φ) 当φ＝kπ时是偶函数； 当φ＝kπ＋π
2
时是奇函数．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数是偶函数，且与y轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向左平移3π
2
个单位得到正弦曲线．( )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx当且仅当x＝0时取得最大值1.( 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做
(1)下列区间中，使函数y＝cosx为增函数的是( ) A．[0，π]
B.?
?π?2，3π2???
C.??ππ?－2，2???
D．[π，2π]
(2)下列函数中，周期为π
2的是( )
A．y＝sinx2
B．y＝sin2x C．y＝cosx4
D．y＝cos4x
(3)函数y＝cosx图像的一条对称轴方程是( ) A．x＝0 B．x＝π4
C．x＝π2
D．x＝3π4
(4)余弦函数y＝cosx取最大值时，x的取值的集合为________． 答案 (1)D (2)D (3)A (4){x|x＝2kπ，k∈Z}
) - 2 -
题型一 余弦函数的图像
例1 用“五点法”画出函数y＝2cos2x的简图． 2π
[解] 因为y＝2cos2x的周期T＝＝π，
2
所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来． 如图．
x 2x cos2x 2cos2x
0 0 1 2 π 4π 20 0 π 2π －1 －2 3π 43π 20 0 π 2π 1 2
然后把y＝2cos2x在[0，π]上的图像向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得y＝2cos2x在R上的图像．
金版点睛
函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的画法
(1)五点法 列表如下：
x ωx＋φ －φ ωπφ－ 2ωωπ 20 πφ－ ωωπ 3πφ－ 2ωω3π 20 2πφ－ ωω2π 0 y＝Acos(ωx＋φ) (2)图像变换法 A －A A 由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径．
π?[跟踪训练1] 用五点法画出函数y＝cos?2x－，x∈[0，π]的图像． ?3???解 ①列表：
- 3 -
x π2x－ 3π??cos?2x－? 3?? ②描点画图，如图．
题型二 与余弦函数有关的值域(最值)问题 cosx－2
例2 (1)求函数y＝的值域；
cosx－1(2)求函数y＝sinx＋4cosx的值域．
cosx－2cosx－1－11
[解] (1)解法一：∵y＝＝＝1－，当cosx＝－1时，ymin＝1
cosx－1cosx－1cosx－113
＋＝， 22
2
0 －π 3π 60 1 5π 12π 20 2π 3π －1 11π 123π 20 π 5π 31 21 2?3?∴函数的值域为?，＋∞?. ?2?
cosx－2y－2
解法二：由y＝，得cosx＝.
cosx－1y－1
y－2
??y－1<1，
又∵－1≤cosx<1，∴?y－2
??y－1≥－1.
2
y>1，??
∴?3
y≥或y<1.??2
3?3?∴y≥，即函数的值域为?，＋∞?.
2?2?
(2)y＝1－cosx＋4cosx＝－(cosx－2)＋5，当cosx＝－1，x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin
＝－4，当cosx＝1，x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝4.
∴f(x)的值域为[－4,4]． 金版点睛
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|≤1求解．
(2)对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的图像及性质求解，注意x的取值范围对t的影响．
2
- 4 -
(3)对于y＝求解．
acosx＋b的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性
ccosx＋d(4)对于y＝acosx＋bcosx＋c的形式，利用二次函数的有关知识求解． π??ππ?[跟踪训练2] (1)y＝2cos??2x＋3?，x∈?－6，6?，求y的值域； ????(2)y＝acosx＋b的最大值是3，最小值是－1，求a和b. πππ2π
解 (1)∵－ π???ππ?故y＝2cos?2x＋?，x∈?－，?的值域为(－1,2)． 3???66? ??a＋b＝3， (2)①a>0时，? ?－a＋b＝－1???a＋b＝－1， ②a<0时，? ?－a＋b＝3? 2 ?a＝2，b＝1； ?a＝－2，b＝1. 综合①②得，a＝2，b＝1或a＝－2，b＝1. 题型三 余弦函数的周期性与奇偶性 例3 判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期： ?33π?(1)y＝3cos2x，x∈R；(2)y＝cos?x＋?. 2??4 [解] (1)求周期：解法一：把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期为2π，这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数cosu的值重复出现．而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此，y＝3cos2x的周期为π. 2π 解法二：y＝3cos2x的周期T＝＝π. 2 判断奇偶性：∵x∈R且有3cos[2(－x)]＝3cos2x， ∴y＝3cos2x，x∈R为偶函数． 2π8π?33π?(2)函数y＝cos?x＋?的周期T＝＝. 2?33?4 43?33π?∵f(x)＝y＝cos?x＋?＝sinx， 2?4?4 - 5 -
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.3余弦函数的性质与图像教案新人教B版第三册
