第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A
2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
3111
解析：A中奖概率为，B中奖概率为，C中奖概率为，D中奖概率为.
8433答案：A
3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 C．0.002 答案：D
4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.
1119
B. C. D. 1091110
B．0.004 D．0.005
解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而1整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝.
10
答案：A
5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )
A.
ππππ B. C. D. 16842
解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为1π半径的圆内．所以所求的概率为＝.
418
×2×22
答案：B 二、填空题
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．
解析：P＝1
答案：
6
7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为
解析：60×?1－答案：6
8．有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是________．
解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点．
如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置1
处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件A发生的概
31
率P(A)＝.
3
1
答案：
3三、解答题
9
，那么该台每小时约有________分钟的广告． 101π4
VA1-ABC1
＝.
VABCD-A1B1C1D16
??
9?
＝6(分钟)． 10??
9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解：如下图所示，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．
问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率． 因为S长方形ABCD＝30×20＝600(m)，
2
S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，
所以S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m)， 根据几何概型的概率公式，得P(A)＝
18423
＝≈0.31. 60075
2
10．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P＝(2)P＝(3)P＝
红灯亮的时间302
＝＝.
全部时间30＋40＋55黄灯亮的时间51
＝＝.
全部时间7515
不是红灯亮的时间黄灯亮或绿灯亮的时间453
＝＝＝，
全部时间全部时间755
23
或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
55
B级 能力提升
1．(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4nm B.
2nm C.
4m2m D. nn答案：C
2．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到
11
圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在
24家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：记“小波周末去看电影”为事件A，
则P(A)＝1－
?1?π·??
?2?
π
2
3＝，记“小波周末去打篮球”为事件B，则P(B)＝4
?1?π·???4?
π
2＝1，16
11
点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，
243113
则小波周末不在家看书为事件A＋B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 41616
13
答案：
16
3.如图所示，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于82的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形3
的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为. 10
(2)如下图所示，连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP.易求得OD＝22.
1
当点S在线段MP上时，S△ABS＝×22×8＝82，
2
所以只有当点S落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于82，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP1π122
＝··4－×4＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于82的概率2224π－8π－2为＝. 8π2π
高中数学必修三习题：第三章3.3几何概型 Word版含答案
