课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为?1，3?，求f(θ)的值；
?22?
?x＋y≥1，
?
(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：?x≤1，
??y≤1
上的一个动点，试确定角θ的取值范围，
并求函数f(θ)的最小值和最大值．
课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 【解答】 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得
?sinθ＝23，?1cosθ＝.?2
31
＋＝2. 22
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图1－7所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)． 于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3×
图1－7
π
于是0≤θ≤. 2
π?
又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sin?θ＋
?6?，
ππ2π且≤θ＋≤， 663
πππ
故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；
623ππ
当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
66
图1－5
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课标文数10.C9[2011·江西卷] A 【解析】 根据中心M的位置，可以知道旋转开始前中心并非是位于最低与最高中间的位置，而是稍微偏下．
随着转动，点M的位置会先变高，排除C、D选项．
而对于最高点，当点M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B.故选A.
课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
23(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
3
课标文数17.C9[2011·江西卷] 【解答】 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋2
b－2abcosC，
1
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝. 3
122
(2)由cosA＝得sinA＝，
33
122则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
33
23代入cosB＋cosC＝，
3
36π
得cosC＋2sinC＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<.
332
π6则C＋φ＝，于是sinC＝，
23
asinC3由正弦定理得c＝＝.
sinA2
课标理数17.C9[2011·山东卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosC2c－a
＝. cosBb
sinC(1)求的值；
sinA
1
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
4
abc
课标理数17.C9[2011·山东卷] 【解答】 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，
sinAsinBsinC
2c－a2ksinC－ksinA2sinC－sinA则＝＝，
bksinBsinBcosA－2cosC2sinC－sinA所以＝.
cosBsinB
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，
所以原等式可化为sinC＝2sinA，
sinC因此＝2.
sinAsinC(2)由＝2得c＝2a.
sinA
1
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，
4
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1222
得4＝a＋4a－4a×，
4
解得a＝1， 从而c＝2.
1
又因为cosB＝，且0 415所以sinB＝. 4111515因此S＝acsinB＝×1×2×＝. 2244 大纲文数18.C9[2011·四川卷] 已知函数f(x)＝sin??x＋ 7π??x－3π?，x∈R. ＋cos ?4?4?(1)求f(x)的最小正周期和最小值； 44π2 (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤.求证：[f(β)]－2＝0. 552 7π?＋sin?x－3π＋π? 大纲文数18.C9[2011·四川卷] 【解答】 (1)∵f(x)＝sin?x＋－2π?4??42? ππ ＝sin?x－?＋sin?x－? ?4??4?π ＝2sin?x－?， ?4?∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. 44 (2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝， cosβcosα－sinβsinα＝－. 55 两式相加得2cosβcosα＝0. ππ ∵0＜α＜β≤，∴β＝. 22 π ∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 4 7π??x－3π?，x∈R. 大纲理数17.C9[2011·四川卷] 已知函数f(x)＝sin?x＋＋cos?4??4?(1)求f(x)的最小正周期和最小值； 44π (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤.求证：[f(β)]2－2＝0. 552 大纲理数17.C9[2011·四川卷] 【解答】 7π?＋sin?x－3π＋π? (1)∵f(x)＝sin?x＋－2π?4??42?π??x－π? ＝sin?x－＋sin?4??4?π?＝2sin?x－ ?4?， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. 44 (2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝， cosβcosα－sinβsinα＝－. 55 两式相加得2cosβcosα＝0. ππ ∵0＜α＜β≤，∴β＝. 2222π ∴[f(β)]－2＝4sin－2＝0. 4 课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝C,2b＝3a. 第 33 页 共 39 页 (1)求cosA的值； π?(2)求cos?2A＋的值． ?4?3课标文数16.C9[2011·天津卷] 【解答】 (1)由B＝C，2b＝3a，可得c＝b＝a. 2 3232 a＋a－a2222 b＋c－a441 所以cosA＝＝＝. 2bc3332×a×a 22 122722 (2)因为cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝1－cosA＝，故cos2A＝2cosA－1＝－. 339 42sin2A＝2sinAcosA＝. 9 8＋72πππ72422 所以cos?2A＋?＝cos2Acos－sin2Asin＝?－?×－×＝－. ?4?44?9?29218 1π?cos2α 大纲理数14.C9[2011·重庆卷] 已知sinα＝＋cosα，且α∈?0，，则的值为?2?2π?sin??α－4? ________． 14大纲理数14.C9[2011·重庆卷] － 2 cos2α－sin2αcos2α 【解析】 ＝ π2sin?α－??4?2?sinα－cosα? ?cosα＋sinα??cosα－sinα?＝＝－2(cosα＋sinα)， 2 ?sinα－cosα?211 ∵sinα＝＋cosα，∴cosα－sinα＝－， 22 1 两边平方得1－2sinαcosα＝， 4 3 所以2sinαcosα＝. 4π?372 ∵α∈?0，，∴cosα＋sinα＝?cosα＋sinα?＝1＋＝， ?2?42cos2α14∴＝－. π?2?sin?α－?4 ππ 大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2?－x?满足f?－??2??3? π11π? ＝f(0)．求函数f(x)在?，?424?上的最大值和最小值． 大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 【解答】 a22 f(x)＝asinxcosx－cosx＋sinx＝sin2x－cos2x. 2 π?3a1由f?－＝f(0)得－·＋＝－1， ?3?222解得a＝23. 第 34 页 共 39 页 π?因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin?2x－. ?6?ππ?π?ππ?当x∈?，时，2x－∈，，f(x)为增函数， ?43?6?32?π11π?π?π3π?当x∈?，时 ,2x－∈，，f(x)为减函数． ?324?6?24? π11π??π?＝2. 所以f(x)在?，上的最大值为f?424??3?π11π 又因f??＝3，f??＝2， ?4??24?π11π??11π?＝2. 故f(x)在?，上的最小值为f?424??24? 大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f(x)＝sinxcosx－3cos(x＋π)cosx(x∈R)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若函数y＝f(x)的图象按b＝?π，3?平移后得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在 ?42? ?0，π?上的最大值． ?4? 大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 1 【解答】 (1)f(x)＝sin2x＋3cos2x 2 13 ＝sin2x＋(1＋cos2x) 22133＝sin2x＋cos2x＋ 222 π?3＝sin?2x＋＋. ?3?2 2π 故f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2π?3(2)依题意g(x)＝f?x－＋ ?4?2 ?x－π?＋π?＋3＋3 ＝sin?2 ??4?3?22 π ＝sin?2x－?＋3. ?6?π?π?ππ? 当x∈?0，时，2x－∈－，，g(x)为增函数， ?4?6?63? π??π?＝33. 所以g(x)在?0，上的最大值为g?4??4?2 ππ [2011·福建四地六校联考] 已知－<θ<，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0，1)，则关于tanθ 22 的值，在以下四个答案中，可能正确的是 ( ) A．－3 1 B．3 或 31 C．－ 3 1 D．－3或－ 3 第 35 页 共 39 页
[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
