课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
153ACAB
课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 【解析】 解法1：由正弦定理，有＝，
4sinBsinC
75即＝， sin120°sinC
5sin120°53所以sinC＝＝，
714
11
所以cosC＝1－sin2C＝1－?53?2＝，
?14?14
又因为A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝60°，
31115333
所以sinA＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝×－×＝，
21421414
1133153所以S△ABC＝AB·ACsinA＝×5×7×＝. 22144
解法2：设BC＝x(x>0)，由余弦定理，有
52＋x2－72
cos120°＝，整理得x2＋5x－24＝0，
10x
解得x＝3，或x＝－8(舍去)，即BC＝3，
1113153所以S△ABC＝AB·BCsinB＝×5×3×sin120°＝×5×3×＝.
22224
课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosC2c－a
＝. cosBb
sinC(1)求的值；
sinA
1
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．
4
abc
课标文数17.C8[2011·山东卷] 【解答】 (1)由正弦定理，设＝＝＝k.
sinAsinBsinC
2c－a2ksinC－ksinA2sinC－sinA则＝＝.
bksinBsinB
cosA－2cosC2sinC－sinA
所以原等式可化为＝.
cosBsinB
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)， 又因为A＋B＋C＝π，
所以原等式可化为sinC＝2sinA，
sinC因此＝2.
sinA
sinC
(2)由正弦定理及＝2得c＝2a，
sinA
1
由余弦定理及cosB＝得
4
222
b＝a＋c－2accosB
1
＝a2＋4a2－4a2× 4
2
＝4a.
所以b＝2a. 又a＋b＋c＝5.
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从而a＝1， 因此b＝2.
课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理． 课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
222
a＝b＋c－2bccosA， 222
b＝c＋a－2cacosB， 222
c＝a＋b－2abcosC.
证法一：如图1－9，
图1－9
→→a2＝BC·BC
→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB) →→→→2＝AC2－2AC·AB＋AB →→→→＝AC2－2|AC|·|AB|cosA＋AB2 ＝b2－2bccosA＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.
课标文数18.F3，C8[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理． 课标文数18.F3，C8[2011·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．
或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.
证法一： 如图1－10，
图1－10
→→a2＝BC·BC
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→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB) →→→→2＝AC2－2AC·AB＋AB →2→→→2＝AC－2|AC|·|AB|cosA＋AB ＝b2－2bccosA＋c2
222
即 a＝b＋c－2bccosA，
222
同理可证 b＝c＋a－2cacosB，
222
c＝a＋b－2abcosC.
图1－11
证法二： 已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，[来源:Z|xx|k.Com]
∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2 ＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证 b2＝c2＋a2－2cacosB，[来源:Zxxk.Com]
c2＝a2＋b2－2abcosC.
222
大纲文数8.C8[2011·四川卷] 在△ABC中，sinA≤sinB＋sinC－sinBsinC，则A的取值范围是( )
ππ
A.?0，? B.?，π? ?6??6?
π??π，π? C.?0， D.?3??3?
222
大纲文数8.C8[2011·四川卷] C 【解析】 根据正弦定理有a≤b＋c－bc，由余弦定
1
理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A
2
π?
的取值范围为?0，
?3?，选择C.
大纲理数6.C8[2011·四川卷] 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )
ππππ
A.?0，? B.?，π? C.?0，? D.?，π? ?6??6??3??3?大纲理数6.C8[2011·四川卷] C 【解析】 根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定
1
理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A
2
π?
的取值范围为?0，
?3?，选择C.
课标理数6.C8[2011·天津卷] 如图1－2，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )
图1－2
A.
3366 B. C. D. 3636课标理数6.C8[2011·天津卷] D 【解析】 设BD＝2，则AB＝AD＝3，BC＝4.在△ABD
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中，由余弦定理得[来源:学科网ZXXK]
AD2＋BD2－AB23＋4－33cos∠ADB＝＝＝，
2×AD×BD2×3×23
161－＝. 3342
在△BDC中，由正弦定理得＝，
sin∠BDCsinC
1166即sinC＝sin∠BDC＝×＝. 2236
课标理数18.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
1
已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.
4
5
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
4
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
5a＋c＝，4
课标理数18.C8[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得
1ac＝，
4∴sin∠BDC＝1－cos2∠BDC＝
???
a＝1，1????a＝，4解得?1或?
c＝，???4?c＝1.
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB
121231222
＝pb－b－bcosB，即p＝＋cosB，
2222
32?，由题设知p＞0，所以6＜p＜2. 因为0＜cosB＜1，得p∈?，2?2?2
课标文数5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA
2
＝bsinB，则sinAcosA＋cosB＝( )
11
A．－ B. C．－1 D．1
22
2
课标文数5.C8[2011·浙江卷] D 【解析】 ∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sinB， ∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
大纲理数6.C8[2011·重庆卷] 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2
－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
42A. B．8－43 C．1 D. 33大纲理数6.C8[2011·重庆卷] A 【解析】 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4. ①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②
4
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.故选A.
3
大纲文数8.C8[2011·重庆卷] 若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝( )
15331511A. B. C. D.
441616
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abc
大纲文数8.C8[2011·重庆卷] D 【解析】 由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝，
2R2R2R
代入6sinA＝4sinB＝3sinC，得6a＝4b＝3c，
3
∴b＝a，c＝2a，
2
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，①
311
将b＝a，c＝2a代入①式，解得cosB＝.故选D.
216
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[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
