课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．
【解答】 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，
13cosA＝，sinA＝. 22再由正弦定理，得
bsinA2sinB＝＝. a2
π
由b 2 22 cosB＝1－sinB＝. 2 由上述结果知 2sinC＝sin(A＋B)＝?3＋1?. 2?22? 设边BC上的高为h，则有 3＋1 h＝bsinC＝. 2 课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________． 课标理数14.C8[2011·安徽卷] 153 【解析】 不妨设∠A＝120°，c 222b＋?b－4?－?b＋4?11 ＝－，解得b＝10，所以c＝6.所以S＝bcsin120°＝153. 2b?b－4?22 π 课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________； 4 a＝________. 25 课标理数9.C8[2011·北京卷] 210 5 25aba5 【解析】 因为tanA＝2，所以sinA＝；再由正弦定理有：＝，即＝， 5sinAsinB2525 可得a＝210. 2 π1 课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________. 43 52aba5 课标文数9.C8[2011·北京卷] 【解析】 由正弦定理有：＝，即＝， 3sinAsinB123252. 3 得a＝ 大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C. 大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a＋c＝2b及正弦定理可得 第 21 页 共 39 页 sinA＋sinC＝2sinB. 又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故 cosC＋sinC＝2sin(A＋C) ＝2sin(90°＋2C) ＝2cos2C. 22 故cosC＋sinC＝cos2C， 22cos(45°－C)＝cos2C. 因为0° 大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 大纲文数18.C8[2011·全国卷] 【解答】 由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB. 2 故cosB＝，因此B＝45°. 2 (2)sinA＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° 2＋6＝. 4 2＋6sinA 故a＝b×＝＝1＋3， sinB2sinCsin60°c＝b×＝2×＝6. sinBsin45° 课标理数14.C8 图1－5 [2011·福建卷] 如图1－5，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________． 课标理数14.C8[2011·福建卷] 【答案】 2 【解析】 在△ABC中，由余弦定理，有 AC2＋BC2－AB2?23?23cosC＝＝＝，则∠ACB＝30°. 2AC·BC22×2×23在△ACD中，由正弦定理，有 ADAC ＝， sinCsin∠ADC 12× AC·sin30°2 ∴AD＝＝＝2，即AD的长度等于2. sin45°22 课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________． 第 22 页 共 39 页 1 课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S△ABC＝AC·BCsinC，得 2 1 AC·2sin60°＝3，解得AC＝2. 2 由余弦定理，得 1 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°＝22＋22－2×2×2×＝4， 2 ∴ AB＝2，即边AB的长度等于2. 1 方法二：由S△ABC＝AC·BCsinC，得 2 1 AC·2sin60°＝3，解得AC＝2. 2 ∴AC＝BC＝2, 又∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形，AB＝2，即边AB的长度等于2. 课标理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已 1 知a＝1，b＝2，cosC＝. 4 (1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值． 1 课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4， 4 ∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 11?2152 (2)∵cosC＝，∴sinC＝1－cosC＝1－?＝， ?4?44 15asinC415∴sinA＝＝＝. c28 ∵a 2?15?2＝7. ∴cosA＝1－sinA＝1－ ?8?8 71151511 ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝. 848416 课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已 1 知a＝1，b＝2，cosC＝. 4 (1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值． 1 课标文数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4， 4 ∴c＝2， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1115(2)∵cosC＝，∴sinC＝1－cos2C＝1－??2＝， ?4?44 15asinC415∴sinA＝＝＝. c28 ∵a 7 ∴cosA＝1－sin2A＝1－?15?2＝. ?8?8 第 23 页 共 39 页 71151511 ∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝. 848416 课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小； π (2)求3sinA－cos?B＋?的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． ?4?课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC. 因为0 π 又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝. 4 3π (2)由(1)知，B＝－A，于是 4π?3sinA－cos?B＋ ?4?＝3sinA－cos(π－A) π?＝3sinA＋cosA＝2sin?A＋ ?6?. 3πππ11πππππ? 因为0 ?6?取最大值2. 46612623 ππ5π 综上所述，3sinA－cos?B＋?的最大值为2，此时A＝，B＝. ?4?312 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小； π?(2)求3sinA－cos?B＋ ?4?的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC. 因为0 π 又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.[来源:学科网] 4 3π (2)由(1)知，B＝－A，于是 4π?3sinA－cos?B＋ ?4?＝3sinA－cos(π－A) π?＝3sinA＋cosA＝2sin?A＋ ?6?. 3πππ11πππππ? 因为0 ?6?取最大值2. 46612623 π?π5π 综上所述，3sinA－cos?B＋的最大值为2，此时A＝，B＝. ?4?312 课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 C sinC＋cosC＝1－sin. 2 (1)求sinC的值； (2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值． CC 课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即sin 22 第 24 页 共 39 页 ?2cosC＋1?＝2sin2C， ??22 CCCCC1 由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝， 222222 3 两边平方得：sinC＝. 4 CC1πCππ37(2)由sin－cos＝＞0得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－， 2224222442222 由a＋b＝4(a＋b)－8得：(a－2)＋(b－2)＝0，则a＝2，b＝2. 222 由余弦定理得c＝a＋b－2abcosC＝8＋27，所以c＝7＋1. 课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． 课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 由正弦定理，有 ABBCAC3 ＝＝＝＝2， sinCsinAsinBsin60°所以AB＝2sinC，BC＝2sinA. 所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(120°－A)＋4sinA ＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA ＝3cosA＋5sinA 35 ＝27sin(A＋φ)，(其中sinφ＝，cosφ＝) 2727 所以AB＋2BC的最大值为27. 课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， b2 asinAsinB＋bcosA＝2a，则＝( ) a A．23 B．22 C.3 D.2 ab 课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理＝得asinB＝bsinA，所以 sinAsinB asinAsinB＋bcos2A＝2a化为bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，故选D. 课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2 asinAsinB＋bcosA＝2a. b(1)求； a222 (2)若c＝b＋3a，求B. 课标文数17.C8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA， 即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA. b 故sinB＝2sinA，所以＝2. a ?1＋3?a222 (2)由余弦定理和c＝b＋3a，得cosB＝. 2c 2222 由(1)知b＝2a，故c＝(2＋3)a. 12可得cos2B＝，又cosB＞0，故cosB＝，所以B＝45°. 22 第 25 页 共 39 页
[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
