得a2＝b2－c2.
π
故△ABC是直角三角形，且B＝，
2
1
所以sinC＝cosA＝. 3
πππ1πβ3课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<，－<β<0，cos＋α＝，cos－＝，则cosα
2243423
β
＋＝( ) 2
33536A. B．－ C. D．－ 3399课标理数6.C5[2011·浙江卷] C
π1ππ23πβ3π
【解析】 ∵cos?＋α?＝，0<α<，∴sin?＋α?＝.又∵cos?－?＝，－<β<0，
?4?3?4?3?42?322
πβ?6?α＋β?＝ ∴sin?－＝，∴cos?42?3?2??π＋α?－?π－β??＝cos?π＋α?cos?π－β?＋sin?π＋α?sin?π－β?＝1×3＋22×6＝cos???4??42???4??42??4??42?3333
53. 9
第 16 页 共 39 页
π5大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈?，π?，sinα＝，则tan2α＝________.
?2?545π?25大纲理数14.C6[2011·全国卷] － 【解析】 ∵sinα＝，α∈?，π，∴cosα＝－，
?2?355
1?2×?－
?2?12tanα4
则tanα＝－，tan2α＝＝＝－. 221－tanα13
1－?－?2
?2?
sin2α
课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tanα＝3，则2的值等于( )
cosα
A．2 B．3 C．4 D．6
sin2α2sinαcosα2sinα
课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为2＝＝＝2tanα＝6，2cosαcosαcosα
故选D.
π?12
课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈?0，，且sinα＋cos2α＝，则tanα的值等于
?2?4
( )
23
A. B. C.2 D.3 23
222
课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sinα＋cos2α＝sinα＋1－2sinα＝1－sin2α＝cos2α，
13222
∴cosα＝，sinα＝1－cosα＝，
44π?
∵α∈?0，
?2?， 13sinα
∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝3，故选D.
22cosα
课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
4334A．－ B．－ C. D.
5555课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点
22
P(a,2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝a2＋(2a)2＝5a2，
2a1232
∴cosθ＝2＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. 5a555
222cosθ－sinθ1－tanθ2a3
解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝22＝2＝－. acosθ＋sinθ1＋tanθ5
π?1
课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin??4＋θ?＝3，则sin2θ＝( )
7117A．－ B．－ C. D.
9999
π2π
课标理数7.C6[2011·辽宁卷] A 【解析】 sin2θ＝－cos?＋2θ?＝－?1－2sin?＋θ??.
?2???4??
π17
由于sin?＋θ?＝，代入得sin2θ＝－，故选A.
?4?39
课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
第 17 页 共 39 页
43A．－ B．－ 5534C. D. 55
课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，
2a12322
∴cosθ＝2＝，∴cos2θ＝2cosθ－1＝－1＝－. 5a555
222cosθ－sinθ1－tanθ2a3
解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝22＝2＝－. acosθ＋sinθ1＋tanθ5
π?tanx
课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan?x＋＝2, 则的值为________．
?4?tan2x
12×
4π?13
课标数学7.C6[2011·江苏卷] 【解析】 因为tan?x＋＝2，所以tanx＝，tan2x＝
?4?931
1－
9
233tanx4＝＝，即＝. 84tan2x99
第 18 页 共 39 页
1π?课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin??3x－6?，x∈R.
5π?(1)求f??4?的值；
π??π?106
(2)设α，β∈?0，，f3α＋＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．[来源:学,科,网]
?2??2?135
5π15π
课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】 (1)f??＝2sin?×π－?
?4??346?
π
＝2sin＝2.[来源:Z*xx*k.Com]
410π1ππ
(2)∵＝f3α＋＝2sin×3α＋－＝2sinα，
13232661π??β＋π?＝2cosβ， ＝f(3β＋2π)＝2sin?×?3β＋2π?－＝2sin?3?2?56?53π
∴sinα＝，cosβ＝，又∵α，β∈?0，?，
?2?135
512
∴cosα＝1－sin2α＝1－??2＝，
?13?1334
sinβ＝1－cos2β＝1－??2＝，
?5?5
3125416
故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
51313565
课标文数16.C7[2011·广东卷]
1π?已知函数f(x)＝2sin??3x－6?，x∈R. (1)求f(0)的值；
π??π?106
(2)设α，β∈?0，，f3α＋＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．
?2??2?135
课标文数16.C7[2011·广东卷] 【解答】
π?
(1)f(0)＝2sin?－
?6? π
＝－2sin＝－1.
610π1ππ
(2)∵＝f3α＋＝2sin×3α＋－＝2sinα，
13232661π＝f(3β＋2π)＝2sin×(3β＋2π)－＝ 536
π
2sinβ＋＝2cosβ，
253π
∴sinα＝，cosβ＝，又α，β∈?0，?，
?2?135
512
∴cosα＝1－sin2α＝1－??2＝，
?13?1334
sinβ＝1－cos2β＝1－??2＝，
?5?5
5312463
故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝. 13513565
课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
π?(1)若sin?A＋
?6?＝2cosA, 求A的值；
1
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
3
第 19 页 共 39 页
课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．
ππ
【解答】 (1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，
66π
tanA＝3，因为0＜A＜π，所以A＝. 3
1
(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，
3
222得a＝b－c.
π
故△ABC是直角三角形，且B＝，
2
1
所以sinC＝cosA＝. 3
π
课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f(x)＝tan?2x＋?.
?4?
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
π??α?＝2cos2α，求α的大小． (2)设α∈?0，，若f?4??2?πππkπ
课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈
4282
Z.
??πkπ
?. 所以f(x)的定义域为?x∈R?x≠＋，k∈Z?82??
π
f(x)的最小正周期为.
2
π?sin?a＋?4?απ
(2)由f??＝2cos2α，得tan?α＋?＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，
?2??4?π?cos?α＋?4?sinα＋cosα
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
cosα－sinα
π?因为α∈?0，
?4?，所以sinα＋cosα≠0，
11
因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.
22
π??0，π?，所以2α＝π，即α＝π. 由α∈?0，，得2α∈?4??2?612
第 20 页 共 39 页
[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
