图1－7
A．2＋3 B.3 3C. D．2－3 3
π3ππ?π
课标文数12.C3[2011·辽宁卷] B 【解析】 由图象知＝2×??8－8?＝2，ω＝2.又由于ωππππππ
2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.这时f(x)＝Atan?2x＋?.又图
?824244?π??π?＝tan?2×π＋π?＝3，故选B. 象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan?2x＋.所以f??24??244?4?
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课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若?π??对一切x∈R恒成立，则 f(x)≤?f
??6??11π?①f??12?＝0；
7ππ
②?f???
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
π2π
④f(x)的单调递增区间是?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)．
?63?
⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 课标文数15.C4[2011·安徽卷] 【答案】 ①③
ba??22，cosφ＝【解析】 f(x)＝asin2x＋bcos2x＝a＋bsin(2x＋φ)?sinφ＝2222?，?a＋ba＋b?
?π??恒成立，所以sin?π＋φ?＝±1. 因为对一切x∈R时，f(x)≤?f??6???3?
π5π
故φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z).
66
π?故f(x)＝a2＋b2sin?2x＋，
?6?π
或f(x)＝－a2＋b2sin?2x＋?.
?6?11π?22?11π?＝－a2＋b2sin2π＝0，故①正确； 对于①，f?＝a＋bsin2π＝0，或f?12??12??7π??＝?a2＋b2sin?7π＋π??＝a2＋b2?sin47π?＝a2＋b2sin17π， 对于②，?f
??10????56???30?30
?f?π??＝?a2＋b2sin?2π＋π??＝a2＋b2?sin17π? ??5????56???30?
17π7ππ
＝a2＋b2sin.所以?f???＝?f???，故②错误；
??10????5??30
ππ
对于③，由解析式f(x)＝a2＋b2sin?2x＋?，或f(x)＝－a2＋b2sin?2x＋?知其既不是
??6?6?奇函数也不是偶函数，故③正确；
π??kπ＋π，kπ＋2π?(k∈Z)是f(x)的单调递减区间，对于④，当f(x)＝a2＋b2sin?2x＋时，??6?63?故④错误；
对于⑤，要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|>a2＋b2，此时平方得b2>a2＋b2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．故⑤错．
?π??课标理数9.C4[2011·安徽卷] 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤?f??6??
π
对x∈R恒成立，且f??>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
?2?
ππ?A.?kπ－，kπ＋(k∈Z) ?36?π
B.?kπ，kπ＋?(k∈Z) ?2?π2π?C.?kπ＋，kπ＋(k∈Z) ?63?π?(k∈Z) D.?kπ－，kπ??2
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?π??恒成立，所以f?π?＝课标理数9.C4[2011·安徽卷] C 【解析】 对x∈R时，f(x)≤?f??6???6?
π?＝±1，可得φ＝2kπ＋π或φ＝2kπ－5π，k∈Z. sin?＋φ?3?66
π?5π
因为f?＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0.所以φ＝2kπ－，所?2?6
5π?以f(x)＝sin?2x－. ?6?π5πππ2π?由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得函数f(x)的单调递增区间为?kπ＋，kπ＋(k∈Z)，?26263?答案为C.
π
大纲理数5.C4[2011·全国卷] 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单3
位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
1
A. B．3 [来源:学|科|网] 3
C．6 D．9
π
大纲理数5.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后得3
π2π
到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于
3ω
6，故选C.
π
大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单3
位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
1
A. B．3 C．6 D．9 3
π
大纲文数7.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后3
π2π
得到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等
3ω
于6，故选C.
13
课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.
3
(1)求数列{an}的通项公式；
π
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数
6
f(x)的解析式．
3
13a1?1－3?13
课标数学16.D3，C4[2011·福建卷] 【解答】 (1)由q＝3，S3＝得＝，解31－33
1
得a1＝.
3
1
所以an＝×3n－1＝3n－2.
3
(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；
π
因为当x＝时f(x)取得最大值，
6π?＝1. 所以sin?2×＋φ?6?
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π
又0<φ<π，故φ＝.
6
π?所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin?2x＋.
?6?
课标理数3.C4[2011·湖北卷] 已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
??π
A.?x?kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z?
3???
??π
B.?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z?
3???
??π5π
C.?x?kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z?
66???
??π5π
D.?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?
66???
π
课标理数3.C4[2011·湖北卷] B 【解析】 因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sinx－，由f(x)≥1，
6
ππ1ππ5ππ
得2sinx－≥1，即sinx－≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋
6626663
2kπ，k∈Z.
课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
??π
A.?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z?
3???
??π
? B.?x?kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z
3???
??π5π
? C.?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z
66???
??π5π
? D.?x?kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z
66???
π
课标文数6.C4[2011·湖北卷] A 【解析】 因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sinx－，由f(x)≥1，
6
ππ1ππ5ππ
得2sinx－≥1，即sinx－≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋
6626663
2kπ，k∈Z.
课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.
(1)求角C的大小；
π?(2)求3sinA－cos?B＋
?4?的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC. 因为0
π
又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝. 4
3π
(2)由(1)知，B＝－A，于是
4π?3sinA－cos?B＋
?4?＝3sinA－cos(π－A)
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π?＝3sinA＋cosA＝2sin?A＋?6?.
3πππ11πππππ?
因为0 ?6?取最大值2. 46612623 π?π5π 综上所述，3sinA－cos?B＋的最大值为2，此时A＝，B＝. ?4?312 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小； π?(2)求3sinA－cos?B＋ ?4?的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC. 因为0 π 又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝. 4 3π (2)由(1)知，B＝－A，于是 4π?3sinA－cos?B＋ ?4?＝3sinA－cos(π－A) π?＝3sinA＋cosA＝2sin?A＋?6?. 3πππ11πππππ 因为0 ?6?46612623 π?π5π 综上所述，3sinA－cos?B＋的最大值为2，此时A＝，B＝. ?4?312 课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋ π?φ)?ω＞0，|φ|＜的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( ) ?2?π? A．f(x)在?0， ?2?单调递减 π3π? B．f(x)在??4，4?单调递减 π? C．f(x)在?0， ?2?单调递增 π3π D．f(x)在?，?单调递增 ?44? 课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f(x)＝2π?2π sin?ωx＋φ＋，因为f(x)的最小正周期T＝＝π， ?4?ω所以ω＝2. π?所以f(x)＝2sin?2x＋φ＋， ?4?又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数， π?所以f(x)＝2sin?2x＋φ＋＝±2cos2x， ?4?ππ 所以φ＋＝＋kπ，k∈Z， 42π 所以φ＝＋kπ，k∈Z， 4 第 10 页 共 39 页
[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
