3.1.3概率的基本性质 学习目标：1.了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系。 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算。 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。 探究问题（一）事件的关系与运算 在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝， C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝， C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝， D1＝｛出现的点数不大于1｝， D2＝｛出现的点数大于4｝， D3＝｛出现的点数小于6｝， E＝｛出现的点数小于7｝， F＝｛出现的点数大于6｝， G＝｛出现的点数为偶数｝， H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 思考1：上述事件中,是必然事件的有 ，是随机事件的有 ，是不可能事件的有 . 思考2：如果事件C1发生，则一定有 发生。在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述? 思考3：一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称 。 (或称 ),记作 (或___ _ ).与集合类比,不可能事件记作___ .可知, ___ 都包含不可能事件. 思考4：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点,这两个事件之间的关系应怎样描述？ 思考5：一般地，当两个事件A、B满足___ ___ ___ ___ ___ ，称事件A与事件B相等？ 思考6：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
思考7：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与
事件B的并事件(或 ),记作 (或 ). 思考8：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）. 如: 在上述掷骰子试验中, ?___＝___. 思考9：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？ 思考10：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？ 例如: 在掷骰子试验中, G?H为不可能事件, G?H为必然事件,所以G与H互为对立事件. 思考11：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？ 探究问题（二）概率的几个基本性质 思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？ 思考2:如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？ 概率的加法公式： 思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、 P(B)有什么关系？由此可得什么结论？ 思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？ 思考5：如果事件A1，A2，…，An中任何两个都互斥，那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何？P（A1+A2+…+An）与P（A1）， P（A2），…，P（An）有什么关系？ 思考6：对于任意两个事件A、B， P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大吗？
1
P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小吗？
例1如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）
11的概率是4，取到方片（事件B）的概率是4，问：
（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=12（2）P(D)=1—P(C)=12
例2：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 1/3 ，得到黑球或黄球的概率是 5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？ 分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解． 解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿
球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=5512；P(C∪D)=P(C)+P(D)=12；
P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-121113=3,解的P(B)=4,P(C)=6,P(D)=4
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是1114、6、4．
练习1抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．B与C C．A与D D．B与D 解析：选C.A与D互斥，但不对立．故选C.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为1
7
，从中取出2粒都是白子的概率是12
35
，则从中取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.17 B.1235 C.1735
D．1 解：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝11217
7＋35＝35
.
即从中取出2粒恰好是同一色的概率为17
35
. 3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红
球的概率是155
3，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率也是12
，试求
得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”
分别为A，B，C，D，则P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝5
12，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝5
12
，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－12
3＝3
.
??P（B）＋P（C）＝5
12
，解?P（C）＋P（D）＝512，得P(B)＝1，P(C)＝1，P(D)＝1， ?464?
P（B）＋P（C）＋P（D）＝23，即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为14、16、1
4
.
概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
2
§3.1.3概率的基本性质
