高中数学专题讲义：三角形中的范围问题你处理好了吗
考纲要求:
1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在?ABC中，由
a2?b2?c2a2?b2?c2. CA?CB?CACBcosC?abcosC?ab?2ab22.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.
3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 基础知识回顾: 1、正弦定理：
abc???2R，其中R为ABC外接圆的半径 sinAsinBsinC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）sin2A?sin2B?sinAsinB?sin2C?a2?b2?ab?c2
（2）bcosC?ccosB?a?sinBcosC?sinCcosB?sinA（恒等式） （3）
bcsinBsinC ?22asinA2、余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA
变式：配合均值不等式可得到b?c和a2??b?c??2bc?1?cosA? 此公式在已知a,A的情况下，
2bc的最值
3、三角形面积公式：
1（1）S?a?h （a为三角形的底，h为对应的高）
2111（2）S?absinC?bcsinA?acsinB
22211（3）S?absinC??2RsinA?2RsinBsinC?2R2sinAsinBsinC（其中R为外接圆半径）
22
4、三角形内角和：A?B?C??，从而可得到：
（1）正余弦关系式：sinA?sin?????B?C????sin?B?C? cosA?cos?????B?C?????cos?B?C?
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：
sin?A?B??sinAcosB?sinBcosA
cos?A?B??cosAcosBsinAsinB
6、辅助角公式：asinA?bcosB?a2?b2sin?A???，其中tan??应用举例:
类型一、与边长有关的范围问题
【例1】【海南省海南中学高三第五次月考】设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为
b aa,b,c,（Ⅰ）求B的大小; （Ⅱ）若
,求
的取值范围. （2）
【答案】（1）
即：
即：
又的取值范围为
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题． 【例2】【黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在对边分别为，，，已知（1）求的值； （2）)若角是钝角，且【答案】(1)
.(2)
，求的取值范围. .
.
中，角，，的
∴∵∴∴
，① ， ， ，②
.
由①②得的范围是【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
类型二、与周长有关的范围问题
【例3】【重庆市西南大学附中高2024级第四次月考】已知函数（1）求（2）在取值范围．
【答案】（1）对称轴方程为
，
，对称中心为
，
（2）
的对称轴所在直线方程及其对称中心； 中，内角、、所对的边分别是、、，且
，
，求
周长的.
由，∴，∴的对称中心为，
（2）∵∴又
，∴
，得：
，∴
，∴
，
，∴，∴
，
点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得： 解：∵∴
，∴
，∴
，∵
，∴
由正弦定理得：∴∴∵
，∴
∴
的周长范围为
，
【例4】【四川省2015级高三全国Ⅲ卷冲刺演练（一）】在（1）若（2）若
，求
的长及
边上的高； 的周长的取值范围.
.
中，，.
为锐角三角形，求
；（2）
【答案】（1）
∴
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