第三章 函数的应用 一、课程要求 本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系。 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想。 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系。 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识。 二、重难点：本节重点是通过“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识；认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题。 在利用二分法求解方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此获得给定精度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具；学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定的困难，如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难。 二、 编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）。 2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律。此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法。 3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示 的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解。 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率。 4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养。 5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值。 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例。 三、教学内容与课时的安排建议 全章教学时间约需7课时。 3.1 函数与方程 4课时 3.2函数模型及其应用 3课时
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函数与方程（1） 教学目标： 1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系 2、掌握零点存在的判定条件． 教学重点：零点的概念及存在性的判定． 教学难点：零点的确定． 教学过程： 一、自学导引： 1、 自读课本P86-88内容，自学时注意以下问题： （1） 一元二次方程与二次函数的关系； （2） 函数零点的概念 2、完成下列问题： （1）二次函数f?x??2x?3x?7在R上有 个零点 ，在（0，３）上有 个零点。 2（2）二次函数的零点 ? 图象 ax2?bx?c?0(a?0)的根 图象与x轴交点 函数零点个数及零点 ?>0 ?=0 ?<0 二、知识点点拨： 1、函数零点的概念： 对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点． 2、函数零点的意义： 函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 3、函数零点的求法： 求函数y?f(x)的零点： 2
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并○利用函数的性质找出零点． 4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索） （Ⅰ）观察二次函数f(x)?x?2x?3的图象： 1 在区间[?2,1]上有零点______； ○2． f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞）2 在区间[2,4]上有零点______； f(2)·f(4)____0（＜或＞）○． （Ⅱ）观察下面函数y?f(x)的图象 1 在区间[a,b]上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞）○． 2 在区间[b,c]上______(有/无)零点； f(b)·f(c)_____0（＜或＞）○． 3 在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0（＜或＞）○． 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y?f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断）的一条曲线，并且有那么函数y?f(x)在区间内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，f(a)?f(b)?0，（a,b）这个c也就是方程f(x)=0的根(注意：反之不一定成立) 三、例题讲解 例１、已知函数f?x?的图象是不间断的，并有如下的对应值表： x 1 8 2 7 3 –3 4 5 5 –5 6 –4 7 –8 f?x? 那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 分析：f(2)?0
,f(3)?0,f(4)?0,f(5)?0 3
解：略 例２、方程xlnx?2必有一个根的区间是（ ） ?1?A.?1,2? B.?2,3? C.?,1? D.?3,??? ?e?分析：可用零点存在定是验证 解：略 例３、（1）求证：函数f(x)?x?x?1在区间??2,?1? 上存在零点． 32（2）当m? （给出一个实数值即可）时，函数f(x)?x?x?m在区间??2,?1?上32存在零点． 分析：因为f(?2)?0解：略 例4、：（1）求函数y?x?64x的零点 3,f(?1)?0，由零点存在定理可知存在零点 ?2x?2,x?[1,??)1（2）设函数f(x)??2，求函数y?f(x)?的零点 4?x?2x,x?(?1,1)分析：f(x)的零点就是方程f(x)?0的实根 解：略 四、课堂小练： 1、求下列函数的零点 （1） y?2x(x?2)?3； （2）y?(x?1)(x?3x?1) 2、．若函数f?x??ax?b只有一个零点2，那么函数g?x??bx?ax的零点是（ ） 22Ａ、0,2 Ｂ、 0,2111 Ｃ、 0,? Ｄ、 ? 2223、对于函数f?x??x?bx?c，若f?m??0,f?n??0(m 五、课堂小结：请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些。 六、作业： 书面作业： 1、教材P92第2题 2、求下列函数的零点： （1）y?x?5x?4；（2）y??x?x?20；（3）f(x)?(x?2)(x?3x?2) 3、若方程2ax2?x?1?0在（0，1）内恰有一解，求a的取值范围 预习作业：预习二次函数的零点及根的分布 七、教后记： 2222 函数与方程（2） 教学目标： 结合二次函数图象的性质，简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。 教学重点：一元二次方程实根分布及其简单运用 教学难点：一元二次方程实根分布及其简单运用 教学过程： 一、预习导引 1、回顾：二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系 2、二次函数y?x?(a?2)x?3，x?[a,b]关于直线x?1对称，则b? 3、二次方程ax2?bx?c?0的两根x1、x2当系数a,b,c满足 关系时两根均为正数，满足 关系时两根为一正一负 4、已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)?0的所有实根之和为（ ） A、4 B、2 C、1 D、0 二、知识点点拨 2设方程ax?bx?c?0?a?0?的不等两根为x1,x2且x1?x2，相应的二次函数为2f?x??ax2?bx?c?0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 5
函数与方程教案
