2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题及详细答案
一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
2
【答案】（1）y=﹣（x+1）+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，
2）；②P（﹣【解析】
315 ，） 42试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
a??1{c?3点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的
bc?3???12a解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作
22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；
②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC
=
111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=
222222333?x?y 222333393375?x?(?x2?2x?3)=?x2?x?6=?(x?)2?， 22222228=
∴当x=?（?3375152时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x?2x?3=，此时P
4822315，）． 42
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
2．某建材销售公司在2019年第一季度销售A,B两种品牌的建材共126件，A种品牌的建材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了减少了的值.
【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A品牌的建材x件.
1a%，B种品牌的建材的销售量222a%，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加a%，求a323根据题意，得6000x?9000?126?x??966000， 解这个不等式，得x?56， 答：至多销售A品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件， 根据题意，得
2?1??2???6000?1?a%??56?1?a%??9000?1?a%??70?1?a%???6000?56?9000?70??1?a%??2??3??23?，
2令a%?y，整理这个方程，得10y?3y?0，
解这个方程，得y1?0,y2?3， 10∴a1?0（舍去），a2?30， 即a的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3．计算题
1x2÷（1+2（1）先化简，再求值：），其中x=2017．
x?1x?12
（2）已知方程x﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
1x2÷（1+2详解：（1））
x?1x?1x2x2?1?1= ?2x?1x?1x2?x?1??x?1?= ?2x?1x=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
2
（2）解：∵方程x﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0， 解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方
程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
4．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．
5．已知关于x的一元二次方程x??m?2?x?m?0（m为常数）
2（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；
(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】
22
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)?4×1?m=m+4＞0，则方程有两个不相等
实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=和m的方程组即可. 【详解】 (1)证明：
△=(m+2)2?4×1?m=m2+4， ∵无论m为何值时m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， 即△＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t，
m?2 ,2t=m,最终解出关于t1x2??m?2?x?m?0
根据题意得2+t=解得t=0， 所以m=0，
即m的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.
m?2
,2t=m， 1
6．已知两条线段长分别是一元二次方程x2?8x?12?0的两根， （1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。
（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。 【答案】（1）2和6；（2）22；（3） 【解析】 【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是x和6?x，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可. 【详解】
解：（1）由题意得?x?2??x?6??0， 即：x?2或x?6， ∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：32?12=22
831?2?22=22． 2（3）设分为x及6?x两段
∴此等腰三角形面积为
x2?22??6?x?
∴x?28， 32x8?， 2383∴S??∴面积为. 【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
7．如图，在RtABC中，∠B?90，AC?10cm，BC?6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB，BC向终点C移动．已知点P，Q的速度分别为
2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请
求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题及详细答案
