第1课时 集合的概念
1．了解集合与元素的含义．
2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题． 3．理解集合与元素的关系．
4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，
B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A．
温馨提示：(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 4．常用的数集及其记法
1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合． (1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？ (2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？ [答案] (1)是 (2)不是
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)本班的高个子同学组成集合．( ) (2)联合国常任理事国组成集合．( ) (3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．( )
(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
题型一集合的基本概念
【典例1】 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ (1)接近于2019的数； (2)大于2019的数；
(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学； (4)方程x－2＝0在实数范围内的解； (5)函数y＝x图象上的点．
[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可． [解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．
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对集合含义的理解
给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所
有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．
[针对训练]
1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号) ①所有的正三角形； ②比较接近1的数的全体； ③某校高一年级16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体； ⑤我校教职员工中的年轻人； ⑥2的近似值的全体．
[解析] ①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．
[答案] ①③④ 题型二元素与集合的关系
【典例2】 (1)下列关系中，正确的有( ) 1
①∈R；②2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. 2A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
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(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征． 1
[解析] (1)是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故
2①②③正确，选C．
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(2)当x＝0时，＝2；
3－06
当x＝1时，＝3；
3－16
当x＝2时，＝6；
3－2
当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.
[答案] (1)C (2)0,1,2
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[针对训练]
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，则a的值为( )
A．0 C．2
B．1 D．3
[解析] ∵a∈A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3. [答案] D
3．用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17 ________A；－5________A．
[解析] 由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A． 7
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.所以－5?A．
3[答案] ∈ ?
题型三集合中元素的特性
【典例3】 已知集合A含有两个元素a和a，若1∈A，则实数a的值为________． [思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．
[解析] 若a＝1，则a＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1； 若a＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1. 综上所述a＝－1. [答案] －1
[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． (2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ [解] (1)若a＝2，则a＝4，符合元素的互异性； 若a＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．
2
2
2
2
2
所以a的取值为2，2，－2.
(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a，所以a≠0且a≠1.
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应用集合元素的特性解题的要点
(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．
(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
[针对训练]
4．已知集合A由三个元素m，m＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值． [解] ∵2∈A，∴m＝2或m＋1＝2， 则m＝2或m＝±1.
当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；
当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去； 当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意． 综上知，m＝2或m＝－1.
课堂归纳小结
1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．
2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否
构成集合的依据．
3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
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2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念
