六年级奥数平面几何
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平面几何部分
教学目标：
1．熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
CDaS1S2AbB⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，
则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADAS2S1OS3CDEES4B
图⑴ 图⑵
CBB
C三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②
AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
AS2aS1OS3S4D蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使
BbC不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
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梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．
2四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDBFGEC
BGC
①
ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么
S?ABO:S?ACO?BD:DC．
A上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题
BFODEC泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中
【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的
面积为 ．
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