[练案48]第七讲 立体几何中的向量方法
A组基础巩固
一、单选题
→→→
1．(2024·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则
λ的值为( C )
A．±C．－
6 66 6
B．
6 6
D．±6
→→
[解析] OA＋λOB＝(1，－λ，λ)， cos120°＝6. 6
2．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为a＝(2，－2,1)，已知P(－1,3,2)，则P到平面OAB的距离等于( B )
A．4 C．3
B．2 D．1
λ＋λ166
＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝2
2661＋2λ·2
－
→
|OP·a|
[解析] 设点P到平面OAB的距离为d，则d＝，因为a＝(2，－2,1)，P(－1,3,2)，
|a||
所以d＝
－1，3，2·2，－2，1|
4＋4＋1
＝2.故选B.
3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为下底面ABCD和上底面A1B1C1D1的中心，则B1M与AN所成角的余弦值等于( B )
2A．－
31C．－
3
2B． 31D． 3
[解析] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
设AB＝2，B1M与AN所成角为θ，则A(2,0,0)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，N(1,1,2)， →→
所以AN＝(－1,1,2)，B1M＝(－1，－1，－2)． 故cosAN，B1M＝
→
→
→
→→|AN||B1M|
2
2
2
AN·B1M→
＝
－1×－1＋1×－1＋2×－2－1
2
＋1＋2×
22
－1＋－1＋－2
2＝－.
3
π2
因为两异面直线所成角的范围是(0，]，所以cosθ＝.故选B.
23
4．在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( C )
A．3 C．
6
3
B．1 D．
2 2
[解析] 以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则N(0,0,0)，A1(0，－1,2)，
B(3，0,0)，M(3，0,1)，所以NB＝(3，0,0)，A1M＝(3，1，－1)，设直线A1M与BN所
→→|NB·A1M|31510
成的角为θ，则cosθ＝|cosNB，A1M|＝＝＝，则sinθ＝，
→→553×5|NB|·|A1M|
→
→
tanθ＝
6
，故选C项． 3
→→
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( C )
1A． 10C．
30 10
2B． 5D．
2 2
[解析] 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)， →→
∴BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)． →
∴cosBM，AN→
＝
→→|BM||AN|
＝
30＝. 106×53
BM·AN→→
＝
1×－1＋－1×0＋2×21＋－1
2
2
＋2×
2
－1
2
＋0＋2
22
6．(2024·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若
AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( B )
A．
3
4
B．
3 2
33C．
4
D．3
→→→
[解析] 如图建立空间直角坐标系，则AA1＝(0,0,1)，A1B＝(3，1，－1)，A1C＝(0,2，－1)，
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·A1B＝3x＋y－z＝0，
则?
→??n·A1C＝2y－z＝0，
不妨取z＝2，
则x＝
33
，y＝1，∴n＝(，1,2)， 33
→
|AA1·n|3
∴A到平面A1BC的距离d＝＝.故选B.
|n|2
7．(2024·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( C )
A．150° C．60°
→→
[解析] 二面角的大小为AC，BD→→→→∵DC＝AC－AB－BD，
→→
两边平方得68＝36＋16＋64－96cosAC，BD， 1→→→
∴cosAC，BD＝，∴AC，BD2二、多选题
8．已知空间中两条直线a，b所成的角为50°，P为空间中给定的一个定点，直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°)，则下列选项正确的是( ABCD )
A．当θ＝15°时，满足题意的直线l不存在 B．当θ＝25°时，满足题意的直线l有且仅有1条 C．当θ＝40°时，满足题意的直线l有且仅有2条 D．当θ＝65°时，满足题意的直线l有且仅有3条
[解析] 过点P分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的角为50°，由题意可知25°≤θ≤90°，∴当θ＝15°时，满足题意的直线不存在，故A正确；当θ＝25°时，直线l过点P且与a′，b′在同一平面内，且平分a′与b′所成角，∴满足题意的直线有且仅有1条；故B正确；当25°<θ<65°时，满足题意的直线l有且仅有2条，故C正确；当θ＝65°时，满足题意的直线有且仅有3条，故D正确．
9．(2024·山东济南期末)给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算；a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是( ACD )
＝60°，故选C. ，
B．45° D．120°
→→→A．AB×AD＝AA1 →→→→B.AB×AD＝AD×AB
→→→→→→→C．(AB＋AD)×AA1＝AB×AA1＋AD×AA1
→→→
D．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(AB×AD)·CC1
→→→→→→→→→
[解析] 由叉乘运算定义知A正确；AB×AD＝－AD×AB，B错误；(AB＋AD)×AA1＝AC×AA1
→→→→→→→→＝λDB，由|AC×AA1|＝|λBD|知22×4sin90°＝22λ，∴λ＝4，∴(AB＋AD)×AA1＝4DB①.→→→→→→→→→→→→→
同理可知AB×AA1＝4DA，AD×AA1＝4AB，∴AB×AA1＋AD×AA1＝4(DA＋AB)＝4DB②，由①、②→→→→→→→→→
知C正确．又(AB×AD)·CC1＝|AB×AD|·|CC1|＝|AB|·|AD|·|CC1|＝V长方体ABCD－A1B1C1D1，D正确，故选ACD.
三、填空题
10．(2024·山东枣庄期末)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PC⊥BC，AB⊥BC，AB＝2BC＝2，PC＝5，则PA与平面ABC所成角的大小为__45°__；三棱锥P－ABC外接球的表面积是__6π__.
[解析] 如图，作PO⊥平面ABC于O，连OA，OC，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
∵AB⊥PA，AB⊥PO，
∴AB⊥平面PAO，从而AB⊥AO， 同理BC⊥CO，又AB⊥BC，
(山东专用)2024版高考数学一轮复习练案(48)第七章立体几何第七讲立体几何中的向量方法(含解析)
