第1课时 综合法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中，至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
2
2
2
解析：因“a，b，c是不全相等的正数”， 则“a≠c，b≠c， a≠b”可能同时成立． 所以③不正确，①，②正确． 答案：C
12．设0＜x＜1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝中最大的一个是( )
1－xA．a C．c
B．b D．不能确定
2
2
11－x－1－x解析：因为b－c＝(1＋x)－＝＝＜0，
1－x1－x1－x所以b＜c.又因为b＝1＋x＞2x＝a，所以a＜b＜c. 答案：C
3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 C．不能断定
B．成立 D．与n取值有关
2
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5 又a1＝S1＝2×1－3×1＝－1适合上式． ∴an＝4n－5(n∈N)，则an－an－1＝4(常数) 故数列{an}是等差数列． 答案：B
*2
- 1 -
4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( ) A．lg(1＋a)>0 C．a＋3ab>2b
2
2
2
22
B．a＋b≥2(a－b－1) D.<22
aa＋1
bb＋1
2
2
2
2
解析：在B中，因为a＋b－2(a－b－1)＝(a－2a＋1)＋(b＋2b＋1)＝(a－1)＋(b＋1)≥0，所以a＋b≥2(a－b－1)恒成立．
答案：B
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
2
2
解析：由于bcos C＋ccos B＝asin A， 所以asin A＝a，从而sin A＝1. π由A∈(0，π)，得A＝，
2所以△ABC为直角三角形． 答案：B 二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－
xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，
1)上是增函数”，应用了________的证明方法．
解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．
答案：综合法
7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．
解析：在△ABC中，A>B?a>b
由正弦定理＝，从而sin A>sin B.
sin Asin B因此A>B?a>b?sin A>sin B，为充要条件． 答案：充要 8．已知p＝a＋
12
(a>2)，q＝2－a＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________． a－2
11＝(a－2)＋＋2≥2a－2a－2
（a－2）·
1
＋2＝4， a－2
ab解析：因为p＝a＋
- 2 -
又－a＋4a－2＝2－(a－2)<2(a>2)， 所以q＝2－a＋4a－2<4≤p. 答案：p>q 三、解答题
11
9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
2
22
ab证明：因为a>0，b>0且a＋b＝1， 11a＋ba＋bba所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2
abababba·＝4. ab当且仅当＝，即a＝b时，取等号， 11
故＋≥4.
baabab10．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
2
?1?求证：函数y＝f?x＋?为偶函数． ?2?
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称． ∴f(x＋1)＝f(－x)
1
则y＝f(x)的图象关于x＝对称
2
b1
∴－＝，∴a＝－b.
2a2
1?2a?则f(x)＝ax－ax＋c＝a?x－?＋c－
4?2?
2
a?1?2
∴f?x＋?＝ax＋c－为偶函数．
4?2?
B级 能力提升
1．不相等的三个数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x，b，y三数( )
A．成等比数列，而非等差数列 B．成等差数列，而非等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
2
2
2
a＋c＝2b， ①??2
解析：由题设得?x＝ab， ②
??y2＝bc. ③
- 3 -
x2y2
由②得a＝，由③得c＝，
bbx2y2
代入①得＋＝2b，
bb所以x＋y＝2b， 故x，b，y成等差数列． 答案：B
（－1）
2．若不等式(－1)a＜2＋
nn＋1
2
2
2
2
2
2
n对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
1
解析：当n为偶数时，则a＜2－恒成立，
n13
所以a＜2－＝.①
22
1
当n为奇数时，则a＞－2－恒成立．
n1
又－2－＜－2，因此a≥－2.②
n3
由①②知，－2≤a＜.
23??答案：?－2，? 2??
3．(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC. 证明：(1)因为EF∥DB， 所以EF与DB确定平面BDEF. 如图，连接DE.
因为AE＝EC，D为AC的中点， 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDEF. 因为FB?平面BDEF，
- 4 -
所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I，如图，连接GI，HI， 在△CEF中，因为G、I分别是CE、CF的中点， 所以GI∥EF.
又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH?平面GHI， 所以GH∥平面ABC.
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人教版2024高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 第1课时 综合法检测
