a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．
a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?M； ?BB?MAA?M． ?BB?M 上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴?
2A?4,? 解得 A?2,B?3．
111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1111 （2）计算：； ???1?22?39?101111????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，
nn?1n(n?1)n(n?1)111?? ∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知
111??? 1?22?39?1011111 ?(1?)?(?)??(?)
22391091 ?1?＝．
1010111???（3）证明：∵ 2?33?4n(n?1)１１ / 75１１ / 75
＝(1111112?3)?(3?4)??(n?n?1)
＝112?n?1，
又n≥2，且n是正整数，
∴1
n＋1
一定为正数，
∴12?3?13?4??1n(n?1)＜12 ． 例3 设e?ca，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2
－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝1
2 ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
练 习
1．填空题： 对任意的正整数n，1n(n?2)? (1n?1n?2)；
2．选择题：
若
2x?yx?y?23，则xy＝ （ （A）１ （B）5464 （C）5 （D）53．正数x,y满足x2?y2?2xy，求x?yx?y的值．
4．计算11?2?1112?3?3?4?...?99?100． 习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．
２．已知x?y?1，求x3?y3?3xy的值． 3．填空：
（1）(2?3)18(2?3)19＝________；
（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，则a的取值范围是________； （3）11?2?12?3?13?4?14?5?15?6?________．
B 组
1．填空：
（1）a?13a2，b?12?ab3，则3a2?5ab?2b2?____ ____； １２ / 75１２ / 75
）
x2?3xy?y2（2）若x?xy?2y?0，则?__ __； 22x?yyy11?2．已知：x?,y?，求的值．
23x?yx?yC 组
221．选择题：
（1）若?a?b?2ab??b??a，则 （ ） （A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0
1等于 （ ） a（A）?a （B）a （C）??a （D）?a 1122．解方程2(x?2)?3(x?)?1?0．
xx11113．计算：． ????1?32?43?59?111111
???4．试证：对任意的正整数n，有＜ ．
1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)4
1.1.1．绝对值
1．（1）?5；?4 （2）?4；?1或3 2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
11111．（1）a?b （2）, （3）4ab?2ac?4bc
24322．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1）3?2 （2）3?x?5 （3）?86 （4）5． 2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1991．2 2．B 3． 2?1 4．
100习题1．1 A组
1．（1）x??2或x?4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3 2．1 3．（1）2?3 （2）?1?a?1 （3）6?1
B组
1351．（1） （2），或－5 2．4．
72C组 3611．（1）C （2）C 2．x1?,x2?2 3．
5521111?[?] 4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（2）计算a?1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法
１３ / 75１３ / 75
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
1 x x 1 －2 －1 －ay －1 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如
图1．2－2． 2 1 x 所示）x 1 6 －－by －2 （2）由图图1．2－3，得 图1．2－3 1．2－1 图1．2－4 图1．2－2 2
x＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得
x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）x3?9?3x2?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23 ＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3)．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)． 或
2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2．
解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?
x y
图1．2－5
－1 1
=(x?1?2)(x?1?2)．
１４ / 75１４ / 75
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
练 习 1．选择题：
多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a?1； （2）4x?13x?9；
22（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4．
22223422．在实数范围内因式分解：
2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；
2（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
222222221.2分解因式
1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a2?2ab?b2) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．
习题1．2
1．（1）?a?1??a2?a?1? （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1?
?5?13??5?13?x?x?2．（1）?； （2）x?2?5x?2?5； ???????2??2???2?7??2?7?x?yx?y? （3）3?； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)． ??????33????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)
????2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
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初升高暑假数学衔接教材含答案
