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限时集训（九）三角恒等变换与解三角形
基础过关
22
1.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=4absinC. (1)求sin A·sin B的值;
(2)若A=,a=3,求c的值.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b>c,a=6,b=5,且△ABC的面积为9. (1)求cos C的值; (2)求c及sin B的值.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2A=-,c=(1)求sin A与a的值;
(2)求b的值及△ABC的面积.
4.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)求B;
(2)若b=,求△ABC的面积S的最大值.
能力提升
5.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=(1)求角A的大小; (2)求b+c的取值范围.
6.已知在△ABC中,BC边上一点D满足AB⊥AD,且AD= ※ 推 荐 ※ 下 载 ※
,sin A=sin C,且A为锐角.
=.
,=.
DC.
(1)若BD=2DC=2,求AC的值; (2)若AB=AC,求sin B.
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限时集训(九)
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基础过关2 21.解:(1)∵c=4absinC,
∴由正弦定理得,sin2C=4sin A·sin B·sin2C, 又∵△ABC中,sin C≠0,∴sin A·sin B=.
(2)当A=时,sin A=,又∵sin A·sin B=,∴sin B=.
∵A+B<π,B∈(0,π),∴B=,∴a=b=3,C=π-A-B=, ∴c2=a2+b2-2abcos C=27,∴c=3
.
2.解:(1)因为△ABC的面积S=absin C=×6×5sin C=9,所以sin C=. 因为b>c,所以C∈
2
2
,所以cos C=.
2
2
2
(2)由余弦定理得c=a+b-2abcos C=6+5-2×6×5×=13,所以c=又因为b=5,sin C=, 所以由正弦定理得sin B=3.解:(1)因为c=所以由正弦定理得
2
.
=.
,sin A=sin C, ,解得a=3
=.
因为cos 2A=2cosA-1=-,
又因为A为锐角,所以cos A=,所以sin A=222
(2)因为b+c-a=2bcos A, 2
所以b-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去),
.
所以S△ABC=bcsin A=×5××=.
4.解:(1)因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以
==,由正弦定理得=,即a+c-b=ac,
222
所以由余弦定理得cos B==,
又因为B∈(0,π),所以B=.
222
(2)因为b=a+c-2accos B≥2ac-ac=ac, 当且仅当a=c时取等号,所以ac≤3, 所以S=acsin B=所以S的最大值为 能力提升5.解:(1)由
2
2
2
ac≤.
,
=及正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c,
,所以A=.
所以bc=b+c-a,所以cos A=,因为A∈
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(2)因为a=,A=,所以====2, -B=2
cos,
所以b+c=2(sin B+sin C)=2sin B+sin因为△ABC为锐角三角形,所以B∈所以cos6.解:(1)∵AD=∈
,
.
,则B-∈].
,所以b+c∈(3,2
DC,BD=2DC=2,∴AD=,DC=1,BC=BD+DC=3.∵AB⊥AD,
∴在Rt△ABD中,sin∠ABD==,
又∵∠ABD∈(0°,90°),∴∠ABD=60°,∴AB=1. 在△ABC中,由余弦定理可得,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=1+9-2×3×=7,∴AC=(2)在△ACD中,由正弦定理得
.
=,
∵AD=DC,∴=.
∵AB=AC,∴B=C,∴∠BAC=180°-2B. ∵∠BAD=90°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=180°-2B-90°=90°-2B,∴∴即(
=,
=,化简得2sinB+sin B-)=0.
2
=0,
sin B-1)(2sin B+∵B∈(0°,180°),∴sin B>0,∴sin B=
.
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【人教版】2020高考数学二轮复习限时集训(九)三角恒等变换与解三角形理
