反比例函数知识点归纳（重点） 

反比例函数知识点归纳和典型例题

、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成

这一限制条件；

（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问

题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例

函数的解析式；

3．反比例函数（二）反比例函数的图象

的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数（三）反比例函数及其图象的性质

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当 当

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

，

）在双曲线的另一支上． ，

）在双曲线的另一支上．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ 图象关于直线 4．k的几何意义

1

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的

面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

时，两图象没有交点；当

（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析

1．反比例函数的概念

2

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

A． B． C． D．

2．图象和性质

是反比例函数，

（1）已知函数

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．

（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线

不经过的象限是（ ）．

的图象上，

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A． B． C． D．

3

3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

（2）在函数的大小关系是（ ）． A．

＜

＜

（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、

B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

y随x的增大而减小的函数有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函

数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．

注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．

4．解析式的确定

（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．

A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数们的另一个交点为________．

的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它

（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．

①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

4

（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

（3）依题意，且，解得．

（4）①依题意，解得

②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．

（5）①，，；

②30；③消毒时间为

5．面积计算

（分钟），所以消毒有效．

（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的

、

、

，则（ ）．

D．

两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 A．

B．

C．

5

第（1）题图 第（2）题图

（2）如图，A、B是函数则（ ）．

的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，

A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2

（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

第（3）题图 第（4）题图

（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、

y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．

（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于

第（5）题图

6