第五章 图形变换
重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。 难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。 课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
齐次坐标系
齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。例如齐次空间点 P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换
二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。 二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。
5.1.1 二维平移变换
如图所示，它使图形移动位置。新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式
x'=x+Tx y'=y+Ty
可利用矩阵形式表示成：
［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］
简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。
从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。若这三种变换都能运用乘法来实现的话，我们就可以实现三种变换的任意组合。为了实现这个目的，一般采用齐次坐标系来表示这三种变换，齐次坐标系中的平移变换矩阵形式是
5.1.2 二维比例变换
如图所示，它改变显示图形的比例。新图形p'的每个图元点的坐标值是原图形p中每个图元点的坐标值分别乘以比例常数Sx和Sy，所以对应点之间的坐标值满足关系式
x'=x·Sx y'=y·Sy
可利用矩阵形式表示成：
简记成p'=P·S，其中是：
是比例变换矩阵。在齐次坐标系中的比例变换矩阵形式
5.1.3 二维旋转变换
二维旋转变换：图形相对坐标原点的旋转如图所示，它产生图形位置和方向的变动。新图形p'的每个图元点是原图形p每个图元点保持离坐标原点距离不变并绕原点旋转θ角产生的，并以逆时针方向旋转为正角度，对应图元点的坐标值满足关系式
x'=xcosθ-ysinθ y'=xsinθ+ycosθ
用矩阵形式表示成简记为P'=P·R，其中标系中的比例变换矩阵形式是
是旋转变换矩阵。在齐次坐
5.1.4 二维对称变换
二维对称变换（或称反射变换）是产生物体镜像的一种变换，该变换实际上是比例变换的几种特殊情况。
1、以y轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x坐标值不变，但符号相反；y坐标值不变。
矩阵表示形式为：
2、以x轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x坐标值不变；y坐标值不变，但符号相反。
矩阵表示形式为：
3、以原点为对称的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标值不变，但符号相反。 矩阵表示形式为:
4、以直线y=x为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标对调。 矩阵表示形式为
计算机图形学 第五章 图形变换
