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专升本高数知识点汇总

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(1) 无穷积分

???abf(x)dx?climf(x)dx

????af(x)dx?climf(x)dx

c????bc????????f(x)dx????f(x)dx??cf(x)dx

f(x) c??7、 定积分关于面积计算

g(x) 面积S d

c

面积S=

??a?f(x)?g(x)?dx,记忆:面积等于上函数减去下函数在边界?a,b?上的定积分。

bx??(y) x??(y)

???(y)??(y)?dy

dc 记忆方法:把头向右旋转90°就是第一副图。

8、 旋转体体积

(1) y f(x)

a b x 曲线

f(x)绕 x轴旋转一周所得旋转体体积 :Vx???a?f(x)?dx

b2 (2)、 a b 阴影部分绕绕

(3)、

f(x) g(x)

bx轴旋转一周所得旋转体体积:Vx???a?f2?x??g2(x)?dx

y d x??(y)

c

x

x??(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积 :Vy???c??(y)?dy

d2 (4)、

y d x??(y) x??(y)

c

x

阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积: Vy

第六讲 向量、空间解析几何

???c??2(y)??2(y)?dy

d(一)向量的相关考试内容

一、向量的基本概念

1、 定义:与起点无关,既有方向又有大小的量称为向量。(生活来源:力、速度、加速度,位移) 2、 向量的表示:

???a1,a2,a3?或记为??a1i?a2j?a3k,

其中a1,a2,a3为向量?在x 轴,y轴,z轴上的投影。 其中,i,j,k为向量?在x轴,y轴,z轴上的单位向量

i??1,0,0?,j??0,1,0?,k??0,0,1?

3、 向量的模:??a1?a2?a3cos??222,模为1的向量叫做单位向量,模为0的向量叫做0向量。

4、 向量?的方向余弦:

cos??a1a?a?a2212223a2a?a?a212223 cos??a3a?a?a212223

并且:cos??cos2??cos2??1

???为向量?与x轴,y轴,z轴的正方向的夹角,叫做 ?的方向角。

5、M0(x0,y0,z0),二、向量的三种不同运算

设向量?M(x1,y1,z1) ,则M0M1?(x1?x0,y1?y0,z1?z0)

??a1,a2,a3?,???b1,b2,b3?

(1)线性运算

?????a1?b1,a2?b2,a3?b3?,?????a1,?a2,?a3?

(2)两向量的数量积 ? ??????cos?,?

???a1b1?a2b2?a3b3

向量?,?的夹角 :

cos?,?????????a1b1?a2b2?a3b3a12?a22?a32?b12?b22?b32

????????0 注:因为cos?,??cos?2?0

(3)两向量的向量积 定义: 1、

c????,满足下述规则

c????sin?,? 2、c??,c?? 3、?,?,c成右手系

称c为?,?的向量积,记作:

c????

i 向量积的坐标表示:c??ja2b2ka3b3

???a1b1 ?∥?的充要条件为:????0或

a1a2a3??b1b2b3 注:因为sin?,??sin0?0

(二)、直线与平面的相关考试内容

一、空间平面方程

在空间直角坐标系下,一次方程Ax?为零。由A,B,C为向量坐标构成得向量n?(1)平面的位置 若A=0,即ByBy?Cz?D?0表示空间一张平面π,这里

A,B,C不同时

?A,B,C?叫做平面π得法向量。即n?π。

?Cz?D?0该平面平行x轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,

过原点。

记忆方法:“谁”的系数为0,平面平行于“谁”轴。 二、空间直线方程

?A1x?B1y?C1z?D1?0一般式:l:?, (一次项系数不成比例)

?A2x?B2y?C2z?D2?0 注:两个平面相交 标准式:l:x?x0y?y0z?z0??abc

注:(x0,y0,z0)为直线上一已知点,向量

?a,b,c?为直线的方向向量

?x?x0?at?l:参数式:?y?y0?bt ?z?z?ct0?三、总结:专升本考试中重点考察两平面的位置关系,两直线的位置关系,直线与平面的位置关系,记忆

的重点在于:

(1)平面Ax?By?Cz?D?0的法向量为?A,B,C?,

x?x0y?y0z?z0(2)直线l:??abc的方向向量为

?a,b,c?

a1a2a3?? (3)向量平行需满足:α?β?0或α?λβ或

b1b2b3(4)向量垂直需满足α?四、两直线的位置关系:

β?a1b1?a2b2?a3b3?0

x?x1x?x1z?z1?? 设有两直线 l1:a1b1c1

(1)l1

l2:x?x2y?y2z?z2??a2b2c2

?l2的充要条件为a1a2?b1b2?c1c2?0,即s1?s2?0

(2)l1∥l2得充要条件为

a1b1c1??,即s1?s2?0 a2b2c2s1,s2?s1?s2s1?s2来确定。

(3)直线l1,l2得夹角可由cos五、直线和平面的位置关系: 设直线方程为l:x?x0y?y0z?z0??abcBy?Cz?D?0

平面方程为π:Ax?(1)l?π的充要条件为

abc??,即s?n?0 ABC?0,即s?n?0

(2)l∥π的充要条件为aA?bB?cC(3)直线l与平面π的夹角φ可由sin六、两平面的位置关系:

设有两平面π1:A1x

φ?aA?bB?cCa?b?c?A?B?C222222来确定。

?B1y?C1z?D1?0

π2:A2x?B2y?C2z?D2?0

π1?π2的充要条件是A1A2?B1B2?C1C2?0,即n1?n2?0

专升本高数知识点汇总

(1)无穷积分???abf(x)dx?climf(x)dx????af(x)dx?climf(x)dxc????bc????????f(x)dx????f(x)dx??cf(x)dxf(x)c??7、定积分关于面积计算
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