（1） 无穷积分
???abf(x)dx?climf(x)dx
????af(x)dx?climf(x)dx
c????bc????????f(x)dx????f(x)dx??cf(x)dx
f(x) c??7、 定积分关于面积计算
g(x) 面积S d
c
面积S=
??a?f(x)?g(x)?dx，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界?a,b?上的定积分。
bx??(y) x??(y)
???(y)??(y)?dy
dc 记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。
8、 旋转体体积
（1） y f(x)
a b x 曲线
f(x)绕 x轴旋转一周所得旋转体体积 ：Vx???a?f(x)?dx
b2 （2）、 a b 阴影部分绕绕
（3）、
f(x) g(x)
bx轴旋转一周所得旋转体体积：Vx???a?f2?x??g2(x)?dx
y d x??(y)
c
x
x??(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积 ：Vy???c??(y)?dy
d2 (4)、
y d x??(y) x??(y)
c
x
阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积: Vy
第六讲 向量、空间解析几何
???c??2(y)??2(y)?dy
d（一）向量的相关考试内容
一、向量的基本概念
1、 定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。（生活来源：力、速度、加速度，位移） 2、 向量的表示：
???a1,a2,a3?或记为??a1i?a2j?a3k，
其中a1,a2,a3为向量?在x 轴，y轴，z轴上的投影。 其中，i,j,k为向量?在x轴，y轴，z轴上的单位向量
i??1,0,0?,j??0,1,0?,k??0,0,1?
3、 向量的模：??a1?a2?a3cos??222，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做0向量。
4、 向量?的方向余弦：
cos??a1a?a?a2212223a2a?a?a212223 cos??a3a?a?a212223
并且：cos??cos2??cos2??1
???为向量?与x轴，y轴，z轴的正方向的夹角，叫做 ?的方向角。
5、M0(x0,y0,z0),二、向量的三种不同运算
设向量?M(x1,y1,z1) ，则M0M1?(x1?x0,y1?y0,z1?z0)
??a1,a2,a3?，???b1,b2,b3?
（1）线性运算
?????a1?b1,a2?b2,a3?b3?，?????a1,?a2,?a3?
（2）两向量的数量积 ? ??????cos?,?
???a1b1?a2b2?a3b3
向量?，?的夹角 ：
cos?,?????????a1b1?a2b2?a3b3a12?a22?a32?b12?b22?b32
????????0 注：因为cos?,??cos?2?0
（3）两向量的向量积 定义： 1、
c????，满足下述规则
c????sin?,? 2、c??，c?? 3、?,?,c成右手系
称c为?,?的向量积，记作:
c????
i 向量积的坐标表示：c??ja2b2ka3b3
???a1b1 ?∥?的充要条件为：????0或
a1a2a3??b1b2b3 注：因为sin?,??sin0?0
（二）、直线与平面的相关考试内容
一、空间平面方程
在空间直角坐标系下，一次方程Ax?为零。由A,B,C为向量坐标构成得向量n?（1）平面的位置 若A=0,即ByBy?Cz?D?0表示空间一张平面π，这里
A,B,C不同时
?A,B,C?叫做平面π得法向量。即n?π。
?Cz?D?0该平面平行x轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,
过原点。
记忆方法：“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。 二、空间直线方程
?A1x?B1y?C1z?D1?0一般式：l:?, (一次项系数不成比例)
?A2x?B2y?C2z?D2?0 注：两个平面相交 标准式：l:x?x0y?y0z?z0??abc
注：（x0,y0,z0）为直线上一已知点，向量
?a,b,c?为直线的方向向量
?x?x0?at?l:参数式：?y?y0?bt ?z?z?ct0?三、总结：专升本考试中重点考察两平面的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆
的重点在于：
（1）平面Ax?By?Cz?D?0的法向量为?A,B,C?,
x?x0y?y0z?z0（2）直线l:??abc的方向向量为
?a,b,c?
a1a2a3?? （3）向量平行需满足：α?β?0或α?λβ或
b1b2b3（4）向量垂直需满足α?四、两直线的位置关系：
β?a1b1?a2b2?a3b3?0
x?x1x?x1z?z1?? 设有两直线 l1:a1b1c1
（1）l1
l2:x?x2y?y2z?z2??a2b2c2
?l2的充要条件为a1a2?b1b2?c1c2?0,即s1?s2?0
（2）l1∥l2得充要条件为
a1b1c1??,即s1?s2?0 a2b2c2s1,s2?s1?s2s1?s2来确定。
（3）直线l1,l2得夹角可由cos五、直线和平面的位置关系： 设直线方程为l:x?x0y?y0z?z0??abcBy?Cz?D?0
平面方程为π：Ax?（1）l?π的充要条件为
abc??,即s?n?0 ABC?0,即s?n?0
（2）l∥π的充要条件为aA?bB?cC（3）直线l与平面π的夹角φ可由sin六、两平面的位置关系：
设有两平面π1：A1x
φ?aA?bB?cCa?b?c?A?B?C222222来确定。
?B1y?C1z?D1?0
π2:A2x?B2y?C2z?D2?0
π1?π2的充要条件是A1A2?B1B2?C1C2?0,即n1?n2?0
专升本高数知识点汇总
