韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答
一、原料采购
某工厂正常情况下每天需要消耗某种原材料4吨，因此每隔一段时间需要购买一次原材料，原材料的价格为2000元/吨，原材料的保管费用每天2元/吨，每次购买原材料需要支付运费1600元.为了保证每天都有原材料供应生产，请给出最优的原材料采购计划.
解：设每隔t天购买一次原材料，则总的保管费用为
2?(4?1?4?2???4?t)?4t(t?1) -------（10分）
支付的总费用为： 则平均每天支付的费用为
Q(t)16001600?4(t?1)??4?2000?4t??8004 ----（20分） ttt1600从而当4t?，即t=20时平均每天的支付费用最少.于是应该20天采购一次原材
t
料.
----（25分）
二、运输成本
某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数
为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B
型车
为504元.请为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 解：根据题意可得： A型车 B型车 物资限制 载重（t） 车辆数 出车次数 每车每天运输成本（元） 6 8 4 320 10 4 3 504 共180 设每天调出A型车x辆、B型车y辆，公司所花的成本为z元，则最低成本费数
学模型为
0?x?8,??0?y?4,? ------------------------(10S.t.?x?y?10??6?4x?10?3y?180??x,y?Z??分)
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解.
可行域（如上图）为：由直线l1：x+y=10, l2:4x+5y＝30 以及x=8,y=4组成的凸四边形区域. 直线l：320x+504y=c在可行域内平行移动. ---------（17分）
易知：当l过y=0与l2的交点时，z取最小值.
由??y?0?x?7.5 解得?
?4x?5y?30?y?0 取最近的整点（8，0），即只调配A型卡车8辆，所花成本费最低.
zmin=320×8=2560（元） ---------------(25分)
三、最短路径
如下图，图中箭头方向表示可以进行移动，箭头上数字表示行走的距离（单位：km，如6号位置能够前进到7号位置，距离为4km；而7号无法前往6号）.现我们所处1号位置，因为行程需要前往8号位置，求最少需要走多少路程能够到达，并且写出具体路线. 解：（1）.列举法(略)
（2）.利用迪杰斯特拉算法：X表示行进过的区域，X={1}， 第一步：min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1
X={1,4}, p4=1 ----（5分）
第二步：min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2
X={1,2,4}, p2=2
第三步：min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, p6=3
第四步：min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3 ----（12分）
第五步：min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
第六步：min {d23,d53,d58,d78}=min {2+6,6+9,6+4,3+8}=min {8,15,10,11}=8
X={1,2,3,4,5,6,7}, p3=8 ----（20分）
第七步：min {d38,d58,d78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10
X={1,2,3,4,5,6,7,8}, p8=10
1到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10km. ----（25分）
四、隔热厚度
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)?k(0?x?10)（k为一未知待定系数），若不建隔热层，每年能3x?5源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm，
k(0?x?10)， 3x?540再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)?， -----------------------（5分）
3x?5由题设，每年能源消耗费用为C(x)?而建造费用为C1(x)=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)?20C(x)?C1(x)?20*40800?6x??6x（0?x?10) ---（12分） 3x?53x?5 (Ⅱ)f'(x)?6?2400
(3x?5)2240023?6，解得（舍去），--------------（17分） x?5,x??(3x?5)25令f′(x)=0，即
当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0， 故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为地f(5)?6*5?分）
五、车间通风
800=70 -------（2515?5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有0.1%的CO2,为了降低车间内空气中CO2的含量,用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含0.03%的CO2的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后,车间内CO2的百分比降低到多少?
解：设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x?t?%在?t, t?dt?内，气量变化关系为：
CO2的通入量?2000?dt?0.03；CO2的排出量?2000?dt?x(t)；
CO2的改变量?CO2的通入量?CO2的排出量.
故可得到：12000dx?2000?dt?0.03?2000?dt?x(t)， ----（10分） 进一步有：
dx1??(x?0.03)， ----（15分） dt61?t6求解以上微分方程得到：x?0.03?Ce，结合初值条件：x|t?0?0.1， ，
得到：C?0.07，故有：x?0.03?0.07e1?t6计算在6分钟后，有 x|t?6?0.03?0.07e?1?0.056,
于是，鼓风机开动6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到0.056%. ----（25分）
六、最大面积
工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆的一部分有破损，破损位置如图所示，其中BC=R/2，并且破损位置在以B所在的水平线右侧.
现要在半圆铁板剩余的部分上切割出一个直角三角形，如图甲乙两个方案： 甲方案是以半圆的直径所在边作为斜边，乙方案是选取半圆的直径所在边为直角边.哪种方案所切割的直角三角形最大？并说明理由.
甲方案 乙方案
解：我们根据甲、乙的方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形的最大面积.
对于甲方案，以AB或者比AB短的线段作为直径的半圆内接三角形.显然，选取
，即. ----
AB作为直径时能够保证三角形尽量的大，此时内接半圆的半径为（5分）
以O’为原点建立直角坐标系，此时O’(0,0),A(R,0),B(
34).设D点的坐标为
().
则三角形的面积
时，
----（15分）
关于求导后可知，当
对于乙方案，以O为圆心，O(0,0).设D点的坐标为(则三角形的面积
).
关于求导，
----（20分）
令
，即
或
时，取得极值.
当时，
通过比较，乙方案所切割出来的三角形面积大，因此乙方案要优于甲方案（25分）
. --
韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答
