中学几何研究【0775】 答案 西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 答案
西南大学培训与继续教育学院课程考试试
题卷
学期：2020年春季
课程名称【编号】：中学几何研究【0775】 A卷 考试类别：大作业 满分：100 分
一、解答题（任选3题，每小题20分，共60分）
1．在内角均小于120的△ABC内有一点P，满足?APB??BPC??CPA?120。 求证：P是到三顶点距离之和最小的点。
R(B,60)?ABP??????A?BP?，则?BP?P为正三角形。
又由?A?P?B??APB?120，?BP?P?60 知A?、P?、P共线，同理P?、P、C共线，即A?、P?、P、C共线，且A?C?AP?BP?CP。
?A?BM?，则 M为△ABC内任一点，作变换?ABM????MM??MB,M?A??MA，MA?MB?MC?A?M??MM??MC?A?C.
R(B,60)O3，I1、I2、I32. 设A?、B?、C?分别是?ABC的边BC、CA、AB的中点，O1、O2、分别是?AB?C?,?A?BC?,?A?B?C的外心和内心。求证：?O1O2O3??I1I2I3.
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??C?BA?，于是 因为C?B?B?A??AC?，故?AC?B????T(AC?)T(AC?)?O1????O2,I1????I2，故OO12?AC?I1I2，
T(AC?)同理OO13?I1I3,O2O3?I2I3，故?O1O2O3??I1I2I3.
3. P为?MON内一点，且?MON?40，A、B分别在OM和ON上，当?ABP的周长最小时，求?APB.
设P1、P2分别为P关于OM和ON的对称点，直线P1P2交OM和ON于点A和点B，则
?ABP的周长为最小。在?ABP中，显然
?BAP?2?P1??P2， 1，?ABP?2?P2，?APB?140??P解得 ?P1??P2?40，从而?APB?100.
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4. 如图，AD是?ABC的中线，F是AD的中点，求
FE的值。 FB二、尺规作图题（任选2题，每小题10分，共20分。其中第1,2题只写作法，第3题只写分析和讨论）
1. 已知
O及外一点P，过P作O的切线。
12．已知线段，求作一线段等于已知线段的。
53．已知?ABC的三中线ma,mb,mc的长度，求作该三角形。
三、叙述并证明梅涅劳斯定理。（20分）
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。
i.
证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例） 如图(3)，过点C作直线DF平行线， 交AB与点G。
由平行线分线段成比例得： BDFBCEGF =，=DCGFEAAFAFBDCEAFFBGF?××=××=1FBDCEAFBGFAF图(3)
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