第十一章 反常积分 1 反常积分概念
一、问题提出
例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？
解：设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.
mgR2按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=2.
x于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：
1?mgR22?1?dx=mgR??. ?Rx2?Rr?r当r→+∞时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：?R?∞2rmgRmgR2dx=rlimdx=mgR. ??∞?Rx2x2又由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应满足：mv02=mgR. 以g=9.81m/s2, R=6.371×106m代入，可得v0=mgR≈11.2km/s.
例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x，则水从孔中流出的流速为： v=2g(h-x)，其中g为重力加速度.
设很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，则 πRdx=vπrdt，即有dt=
2
2
12R2r22g(h-x)dx. ∴流完一桶水所需的时间为：
tf=?0hR2r22g(h-x)dx，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为：
dx=lim2R2r2tf=lim
u?h?0?uR2r22g(h-x)u?h?g(h-h-u)=lim?u?h2hR2r2g.
二、两类反常积分的定义
定义1：设函数f定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]
f(x)dx=J，则称此极限J为函数f在[a,+∞)上可积，如果存在极限ulim??∞?au上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=?af(x)dx，并称?af(x)dx收敛. 若极限不存在，则称?af(x)dx发散.
?∞?∞?∞
bf(x)dx. 类似的，可定义f在(-∞,b]的无穷积分：??∞f(x)dx=ulim??∞?ub又有??∞f(x)dx=?af(x)dx+??∞f(x)dx, 其中a为任意实数，
仅当右边两个无穷积分都收敛时，??∞f(x)dx才收敛.
例3：讨论无穷积分?1解：当p=1时，?1当p<1时，?1当p>1时，?1?∞?∞?∞?∞?∞?∞bdx的收敛性. xpudxdxlim==limlnu=+∞, p?1u??∞xu??∞xudx1?1dx?lim?1lim==??=+∞,
xpu??∞?1xpu??∞1-p?up-1?udx1?1dx?1lim?1lim==, ??=p-1pp?1u??∞u??∞1-p?uxx?p-1?∞dxdx发散于+∞; 当p>1时，?1p收敛. pxx?∞∴当p≤1时，?1
?∞例4：讨论下列无穷积分的收敛性：
(1)?2?∞dxx(ln x)p; (2)??∞dxx(ln x)?∞dx. 21?x解：(1)∵?2?∞p=?ln2?∞dt; 根据例3的结论可知， tp当p≤1时发散; 当p>1时收敛. (2)??∞?∞?∞dx0u0dxdxdxdxlimlim=+=+ 22222????0?∞0vu??∞v??∞1?x1?x1?x1?x1?x0dxdxlim+=limarttanu-limarttanv=π，收敛. 22?vv??∞u??∞v??∞1?x1?x=ulim0??∞?
u定义2：设函数f定义在区间(a,b]上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]?(a,b]上有界且可积. 如果存在极限lim?uf(x)dx=J，则称
u?a?b此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分，记作J=?af(x)dx，并称反常积分?abbf(x)dx收敛. a称为f的瑕点，而无界函数反常积分?f(x)dx又
abb称为瑕积分. 若极限不存在，则称?af(x)dx发散.
b
u?b?a类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：?af(x)dx =lim?uf(x)dx.
其中f在[a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]?[a,b)上可积.
又若f的瑕点c∈(a,b)，则定义瑕积分
?baf(x)dx =?f(x)dx+?acbcf(x)dx =lim-?f(x)dx+lim??f(x)dx,
u?cav?cvub其中f在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何[a,u]?[a,c)和[v,b]?(c,b]上都可积. 当且仅当?af(x)dx和?cf(x)dx都收敛时，?af(x)dx才收敛.
又若a,b都是f的瑕点，而f在任何[u,v]?(a,b)上可积，则定义瑕积分
bcb
数学分析11.1反常积分概念
