极大无关组为：a2,a3,a4，且a1?a2?a3?a4
5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T?1AT是对称矩阵．
参考答案：
线性代数模拟题（三）
一．单选题.
1. 设五阶行列式aij?m，依下列次序对aij进行变换后，其结果是（ C ）． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．
（A）8m； (B)?3m； (C)?8m； (D)
1m． 4?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解，则（ D ）2. 如果方程组?． ?kx?5y?z?0? （A）k?0或k?1；（B）k?1或k?2；（C）k??1或k?1；（D）k??1或k??3．
3. 设A，B，C，I为同阶矩阵，若ABC?I，则下列各式中总是成立的有（ A ）． （A） BCA?I； (B) ACB?I； (C) BAC?I； (D) CBA?I． 4. 设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式（ A ）必成立． （A）若AB?AC，则B?C； (B) 若AB?CB，则A?C； (C) 若AC?BC，则A?B； (D) 若BC?O，则B?O． 5. 若向量组?1,?2,....,?s的秩为r，则（ D ） （A）必定r
(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r个向量线性无关
(D)向量组中任意个r?1向量必定线性相关
6. 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）
(A)
?1??2,?2??3,?3??1 ; (B) ?1,?1??2,?3??2??1 ; ?1??2,?2??3,?3??1 ; (D) ?1??2,2?2??3,3?3??1 .
(C)
7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（D） (a)λI-A＝λI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量
(c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）
8. 当（C）时，A为正交矩阵，其中 A????ab?? ??0c?(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（ A ） (A)
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关;
(B) (C)
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关;
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关; ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关.
?a1?A?b1?c?1a2b2c2a3??a1?3c1??b3???b1?c3???c1a2?3c2b2c2a3?3c3??b3?． c3??(D)
10. 当A?（ B ）时，有
?100??10?3??00?3??100?????????（A）?010?；（B）?010?；（C）?010?；（D）?010?．
??301??001??101??0?31?????????二．计算题或证明题
1. 设A～B,试证明
－－
(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A1～B1 参考答案：
2. 如n阶矩阵A满足A=A，证明：A的特征值只能为0或-1。 参考答案：
3. 当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
2
?x1?2x2?2x3?2x4?1?x2?x3?x4?1? ?
x?x?x?3x?a234?1??x1?x2?x3?5x4?b参考答案：
?x1??1?k2?x?1?k?k?212 当a=0, b = －2时有解?
?x3?k1??x4?k24. 判断向量?能否被?1,?2,?3线性表出，若能写出它的一种表示法．
??8???2??3???5???????????3??7???5???6?， ?????,??,??123????????7103??????????10??3???2???1?????????参考答案：
?不能被?1,?2,?3线性表示。
5. 若方阵A可逆，则A的伴随矩阵A也可逆，并求出A的逆矩阵． 参考答案： 证明（略），(A*)?1**?1A |A|
山东大学网络教育《线性代数(1-3)》
