线性代数模拟题(一)
一．单选题.
1.下列（ A ）是4级偶排列．
（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果
a11D?a21a31那么D1?（ D ）．
a12a22a32a134a112a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13a23， a33a23?1，D1?4a21a334a31（A） 8； (B) ?12； (C) 24； (D) ?24．
3. 设A与B均为n?n矩阵，满足AB?O，则必有（ C ）．
（A）A?O或B?O； （B）A?B?O；
（C）A?0或B?0； （D）A?B?0．
4. 设A为n阶方阵(n?3)，而A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k?0,?1，则必有?kA?**等于（ B ）．
（A）kA*； （B）kn?1A*； （C）knA*； （D）k?1A*． 5.向量组?1,?2,....,?s线性相关的充要条件是（ C ） （A）?1,?2,....,?s中有一零向量 (B) (C) (D)
?1,?2,....,?s中任意两个向量的分量成比例 ?1,?2,....,?s中有一个向量是其余向量的线性组合 ?1,?2,....,?s中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知?1,?2是非齐次方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则Ax?b的通解为（ B ） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (B) k1?1?k2(?1??2)??1??22
(C) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (D) k1?1?k2(?1??2)?－
?1??22
7. λ＝2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（B）
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
-1
8. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-I|=(B)
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若A是（ A ），则A必有A??A．
（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确． （A）?2A??2A?； (B) ?2A? (C) (A)??1?2A?1 ；
?1??1?1????(A?)???1； (D) ?(A?)????(A?1)?1．
??二．计算题或证明题
1. 设矩阵
?3? A???k?4??2???1k? 2?3??－1
2(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？
(2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。
3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
?ax1?x2?x3?1? ?x1?ax2?x3?a
?x?x?ax?a223?1参考答案：
a?11(a?1)2,x2?,x3?. 当a?1,?2时有唯一解：x1?? a?2a?2a?2?x1?1?k1?k2? 当a?1时，有无穷多解：?x2?k1
?x?k2?3 当a??2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
?1??0??3??2??1?????????????1??3??0??1???1??1???,?2???,?3???,?4???,?5???
21752???????????4??2??14??6??0???????????参考答案：
5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：AB?BA是对称矩阵．
参考答案：
线性代数模拟题（二）
一．单选题.
1. 若(?1)N(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k、l的值及该项符号为（ A ）．
（A）k?2，l?3，符号为负； (B) k?2，l?3符号为正； (C) k?3，l?2，符号为负； (D) k?1，l?2，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．
(A) (B)
n阶行列式中，零元素个数多于n2?n个； n阶行列式中，零元素个数小于n2?n个；
(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个； (D) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．
3. 设A，B均为n阶方阵，若?A?B??A?B??A2?B2，则必有（ D ）． （A）A?I； (B)B?O； (C)A?B； (D)AB?BA． 4. 设A与B均为n?n矩阵，则必有（ C ）． （A）A?B?A?B；（B）AB?BA；（C）AB?BA；（D）?A?B?5. 如果向量?可由向量组?1,?2,....,?s线性表出，则（ D/A ）
(A) 存在一组不全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (B) 存在一组全为零的数k1,k2,....,ks，使等式??k1?1?k2?2?....?ks?s成立 (C) 对?的线性表示式不唯一 (D) 向量组?,?1,?2,....,?s线性相关
6. 齐次线性方程组Ax?0有非零解的充要条件是（ C ） (A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合
－
7. 设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA1)2＋I必有特征值（B）
22
(a)λ+1 (b)λ-1 (c)2 (d)-2
?1 ?A?1?B?1．
8. 已知
?32?1???A??00a? 与对角矩阵相似，则a＝（ A）
?000??? (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 设A，B，C均为n阶方阵，下面（ D ）不是运算律．
（A）?A?B??C?(C?B)?A ； （B）(A?B)C?AC?BC； （C）(AB)C?A(BC)； （D）(AB)C?(AC)B． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．
?001??100??100??100?????????(A)?010?；（B）?000?；（C）?020?；（D）?01?2?．
?100??010??001??001?????????二．计算题或证明题
1. 已知矩阵A，求A10。其中A???参考答案：
?10??? ?12??
2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ参考答案：
-1
是A的一个特征值。
-1
3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
?ax1?x2?x3?a?3? ?x1?ax2?x3??2
?x?x?ax??223?1` 参考答案：
当a?1,?2时有唯一解：x1??a?1?3?3,x2?,x3? a?2a?2a?2?x1??2?k1?k2? 当a?1时，有无穷多解：?x2?k1
?x?k2?3 当a??2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
?1??1??1???1?????????211???????0??1???,?2???,?3???,?4???
3120?????????4??1??1??2?????????参考答案：
山东大学网络教育《线性代数(1-3)》
