课题: §3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
第2课时
授课类型:新授课 【教学目标】
1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件;
2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思想;
3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新。
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来; 【教学难点】
把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 【教学过程】
1.课题导入 [复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
判断方法:由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)。 随堂练习1
1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.
?x?y?5?0?2、画出不等式组?x?y?0表示的平面区域。
?x?3?2.讲授新课 【应用举例】
yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解:设开设初中班x个,开设高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20-30之间,
所以有20?x?y?30
考虑到所投资金的限制,得到26x?54y?2?2x?2?3y?1200
即 x?2y?40 另外,开设的班数不能为负,则x?0,y?0 把上面的四个不等式合在一起,得到:
?20?x?y?30?x?2y?40? ?x?0??y?0?用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分)
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。
解:设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:
?4x?y?10?18x?15y?66? ?x?0??y?0?在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分)。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) (x?y)(x?y?1)?0; (2) x?y?2x
分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由x?2x,得x?0,又用?y代y,不等式仍成立,区域关于x轴对称。
?x?y?0?x?y?0解:(1)?矛盾无解,故点(x,y)在一带形区域内?0?x?y?1或?x?y?1?0x?y?1??(含边界)。
(2) 由x?2x,得x?0;当y?0时,有?当y?0,由对称性得出。
指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
?x?y?0点(x,y)在一条形区域内(边界);
?2x?y?0
?2x?y?3?0?例2、利用区域求不等式组?2x?3y?6?0的整数解
?3x?5y?15?0?分析:不等式组的实数解集为三条直线l1:2x?y?3?0,l2:2x?3y?6?0,
l3:3x?5y?15?0所围成的三角形区域内部(不含边界)。设l1?l2?A,l1?l3?B,l2?l3?C,求得区域内点横坐标范围,取出x的所有整数值,再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。
解:设l1:2x?y?3?0,l2:2x?3y?6?0,l3:3x?5y?15?0,l1?l2?A,
1537512l1?l3?B,l2?l3?C,∴A(,),B(0,?3),C(,?)。于是看出区域内点的
841919??y??1?475?横坐标在(0,)内,取x=1,2,3,当x=1时,代入原不等式组有?y??
319?12?y???5?12?y??1,得y=-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0),5(2,-1),(3,-1)。 ?指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的,先确定区域内点的横坐标的范围,确定x的所有整数值,再代回原不等式组,得出y的一元一次不等式组,再确定y的所有整数值,即先固定x,再用x制约y。
3.随堂练习2 1.(1)y?x?1; (2).x?y; (3).x?y
?x?y?6?0?x?y?0?2.画出不等式组?表示的平面区域
?y?3??x?53.课本第97页的练习4
4.课时小结 进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。
5.评价设计 1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题
课题: §3.3.2简单的线性规划
第3课时
授课类型:新授课 【教学目标】
1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】
1.课题导入 [复习提问]
1、二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题:
引例:某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件:
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,又已知条件可得二元一次不等式组:
?x?2y?8?4x?16???4y?12 ……………………………………………………………….(1) ?x?0???y?0(2)画出不等式组所表示的平面区域:
如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题:
进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
(4)尝试解答:
设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:
当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时,z的最大值是多少?
把z=2x+3y变形为y??2z2zx?,这是斜率为?,在y轴上的截距为的直线。当z3333变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给
28zx?),这说明,截距可3332z以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线y??x?与不等式组(1)的区
33z域的交点满足不等式组(1),而且当截距最大时,z取得最大值。因此,问题可以转
32z化为当直线y??x?与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个
33z点P,使直线经过点P时截距最大。
3定一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线(y??(5)获得结果:
由上图可以看出,当实现y??时,截距
2zx?金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M(4,2)33z14的值最大,最大值为,这时2x+3y=14.所以,每天生产甲产品4件,乙产品332件时,工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
④可行解、可行域和最优解:
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案
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