高考数学专题复习-数列应用题
【拓展探究】
1. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等
n(n?1)?2009??n??2*差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由?且n?N得，当n?62时，使剩余的
?n(n?1)?2009??2圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx?1n(n?1)?2009，即n(2x?n?1)?2?2009?2?7?7?41，因n?1与n的奇偶2性不同，所以2x?n?1与n的奇偶性也不同，且n?2x?n?1，从而由上述等式得：
?n?7?n?14?n?41?n?49或或或，共有4种方案可供选择. ?????2x?n?1?574?2x?n?1?287?2x?n?1?98?2x?n?1?82（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若n?41，则x?29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为2003 cm， 而2003?10?10?400，所以符合条件；
若n?49，则x?17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为2403 cm，显然大于4m，不合条件，舍去； 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
2. 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
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