基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若a,b?R，则a2?b2?2ab
2）若a,b?R，则ab?a2?b2（2
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若a,b?R*，则a?b?2ab
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若a,b?R*，则
a?b2?ab （2）若a,b?R*，则ab???a?b?2
?2??总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若x?0，则x?1x?2 (当且仅当x?1时取“=”） （2）若x?0，则x?1x??2 (当且仅当x??1时取“=”） （3）若ab?0，则ab?ba?2 (当且仅当a?b时取“=”）
4）若a,b?R，则ab?(a?b22a?b2（2)?2 （5）若a,b?R*，则111?ab?a?b2?a2?b2
a?2b特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 6、柯西不等式 （1）若a,b,c,d?R，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2 （2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3?R，则有：
(a2?a222?a3)(b2?b2221112?b3)?(a1b1?a2b2?a3b3)
（3）设a1,a2,???,an与b1,b2,???,bn是两组实数，则有 (a21?a222?????an)(b21?b22?????b2n)?(a1b1?a2b2?????anbn)2
精选
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥
211
a?b
2、已知
a,b,c为两两不相等的实数，求证：
a2?b2?c2?ab?bc?ca
3、已知a?b?c?1，求证：a2?b2?c2?13 4、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证：
(1?a)(1?b)(1?c)?8abc
5、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证：
??1?a?1????1??b?1????1???c?1???8
6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设a,b,c均为正数,且a?b?c?1,证明:
(Ⅰ)ab?bc?ca?1a2b2c23; (Ⅱ)b?c?a?1.
7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知a?b?0，求证:2a3?b3?2ab2?a2b
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 （1）y?3x2?12x2 （2）y?x(4?x)
（3）y?x?1x(x?0) （4）y?x?1x(x?0)
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知x?2，求函数y?2x?4?42x?4的最小值；
变式1：已知x?2，求函数y?2x?42x?4的最小值；
变式2：已知x?2，求函数y?2x?42x?4的最大值；
练习：1、已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最小值；
精选
2、已知x?54，求函数y?4x?2?1的最大值； 4x?5
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当时，求y?x(8?2x)的最大值；
变式1：当时，求y?4x(8?2x)的最大值；
变式2：设0?x?32，求函数y?4x(3?2x)的最大值。
2、若0?x?2，求y?x(6?3x)的最大值；
变式：若0?x?4，求y?x(8?2x)的最大值；
3、求函数y?2x?1?5?2x(12?x?52)的最大值；
（提示：平方，利用基本不等式）
变式：求函数y?4x?3?11?4x(3?x?1144)的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知a,b?0,a?2b?1，求t?11a?b的最小值；
法一：
精选
法二：
变式1：已知a,b?0,a?2b?2，求t?11a?b的最小值；
变式2：已知x,y?0,2x?8y?1，求xy的最小值；
变式3：已知x,y?0，且1x?1y?9，
求x?y的最小值。
变式4：已知x,y?0，且1x?9y?4，求x?y的最小值；
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