山东省普通高等教育专升本统一考试 近三年《高等数学》真题（部分）
一、 选择题 1、函数y?arcsin2x?17?2x?x2的定义域为（ ）
【2011年真题】 A、[?3,4] B、 (?3,4) C、 [0,2] D、 (0,2） 【答案】选C.
?2、如果级数?un(un?0)收敛，则必有（ ）【2011年真题】
n?1?A、级数?1?发散 B、级数?(u1n?n?1unn?1n)收敛
??C、级数?un收敛 D、级数?(?1)nun收敛
n?1n?1【答案】选A. 二、填空题：
1、由方程x2?y2?4xy?0确定的隐函数的导数dydx= 【2011年真题】 【答案】填
x?2yy?2x. 2、向量a?(1,1,4)与向量b?(1,?2,2)的夹角余弦值是 . 【2011年真题】 【答案】填7218. ?3、级数?xnnn!的收敛区间为_______.【2010年真题】 ?【答案】(??,??).
【解析】收敛半径：R?annlim|a|?(n?1)!??n?1nlim??n!?nlim??(n?1)??， 所以，收敛区间为：(??,??).
4、当?6?x??sinx2时，f(x)?x是_______函数（填“单调递增”、“单调递减”） 真题】
2009年
【
【答案】单调递减
xcosx?sinx【解析】f?(x)?,令g(x)?xcosx?sinx,
x2g?(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx,当
?6?x??2时，g?(x)?0，
3113??6g(x)?g()??cos?sin??????0.666662226?????从而，f?(x)?0,故函数f(x)单调递减. 二、计算下列各题：
?x?1、求函数y???(x?0)的导数. 【2011年真题】
1?x??【解析】两边取对数，lny?x[lnx?ln(1?x)] 两边对x 求导数，
xx11?1?x??1?x?y??ln??ln? ??x?????y?1?x??x1?x??1?x?1?xdy?x???x?1?所以，??. ??ln???dx?1?x???1?x?1?x??xn2、级数的收敛区间为___________.【2010年真题】
n!n?a(n?1)!【解析】收敛半径：R?lim|n|?lim?lim(n?1)??，
n??an??n??n!n?1??所以，收敛区间为：(??,??).
nx2x3n?1x????(?1)??的收敛半径和收敛域. 【2009年真题】 3、求幂级数x?23n【解析】 收敛半径: R?lim?ann?1?lim?1,
n??an??nn?1?(?1)n?1??发散; nnn?1当x??1时,级数?(?1)n?1n?1当x?1时,级数?(?1)n?1n?1?1收敛. n所以,级数的收敛域为:(?1,1]. 三、证明题：
1、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m长的墙壁.
问:应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大. 【2011年真题】 【解析】设小屋宽为x米,则长为(20-2x)米, 小屋面积为：y?x(20?2x)
y??20?4x?0,得x?5,
由实际问题的实际意义知，当围成宽5米，长10米的长方形时小屋面积最大.
12、求抛物线y?x2将圆x2?y2?8分割后形成的两部分的面积. 【2011年真题】
21??y?x2【解析】联立?，得x??2 222??x?y?81?面积A1?2?8?x?x2?dx?20?2??2??2?401(22cost)dt?x3
3022???8?40(1?cos2t)dt?84?1?48?8?t?sin2t???2??. 33?2?03另一部分面积A2?8??A1?6??.
3、设函数f(x)在[0，1]上连续，且0?f(x)?1，证明：存在??[0,1],使f(?)??.【2010年真题】 【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质——零点定理. 证明. 令g(x)?f(x)?x，则g(x)在[0，1]上连续，且 g(0)?f(0)?0?f(0)?0,g(1)?f(1)?1?0,
若等号成立，即f(0)?0,或f(1)?1，则端点0或1即可作为要找的?；
若等号不成立，即g(0)?g(1)?0,由零点定理知，存在??(0,1),使g(?)?0，即f(?)??. 综上可证，存在??[0,1],使f(?)??.
4、某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【2009年真题】
【解析】求最值问题.首先根据题意建立数学函数,然后求导数,并求出使一阶导数等于零的点,若只求得一个驻点,则可直接断定结论.
512解 设宽为x米,则长为米.
x512新砌墙的总长度为: y?2x?
x43
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