第三节 统计图表、用样本估计总体
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
(对应学生用书第162页)
[基础知识填充]
1．常用统计图表
(1)频率分布表的画法：
极差
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
组数
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．
频率
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．
组距(3)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(4)茎叶图的画法：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧． 2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数 数字特征 众 数 定义与求法 一组数据中出现次数最多的数 优点与缺点 通常用于描述出现次数最多的数，显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中 位 数 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平 均 数 如果有n个数据x1，x2，…，平均数和每一个数据有关，可以反映样xn，那么这n个数的平均数本数据全体的信息，但平均数受数据中1x＝(x1＋x2＋…＋xn) 极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 n(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝1n[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]. 2
222②方差：标准差的平方s
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，
nn是样本容量，x是样本平均数．
[知识拓展] 平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋
1
a的平均数是mx＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为as.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )
[解析] (1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散．
22
2
2
频率
(3)正确．小矩形的面积＝组距×＝频率．
组距
(4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图9-3-1所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
图9-3-1
A．91.5和91.5 C．91和91.5
B．91.5和92 D．92和92
A [这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. 91＋92所以中位数是＝91.5，
2
87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96
平均数x＝＝91.5.]
8
3．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
B [因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B．]
4．如图9-3-2所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20]内的频数是( )
图9-3-2
A．50 B．40 C．30 D．14
C [因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在
[15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C．]
5．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图9-3-3，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为
x，那么x的值为________．
图9-3-3
1
2 [170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，
71
则×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.] 7
(对应学生用书第163页)
频率分布直方图 (2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图9-3-4所示频率分布直方图：
图9-3-4
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
[解] (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝
0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5， 5
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.
100
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60， 1
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
2所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2. [规律方法] 频率、频数、样本容量的计算方法 12频率×组距＝频率. 组距频数频数＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 样本容量频率易错警示：绘制频率分布直方图时的3个注意点 1制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； 频率2频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率. 组距3注意中值估算法. [跟踪训练] (1)(2017·河南新乡调研)统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图9-3-5所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )
【导学号：79140329】
图9-3-5
A．0.001 C．0.2
B．0.1 D．0.3
(2)(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图9-3-6所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据
高考数学一轮复习： 第9章 算法初步、统计与统计案例 第3节 统计图表、用样本估计总体
