。 。 。 江西省上饶县中学2017-2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（190）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知函数y? 围是.
x2?1x?1的图像与函数y?kx?2的图像恰有两个交点.则实数k的取值范
02. 在三棱柱ABC?A1??CAA1?60.则异1B1C1中，底面边长和侧棱长均相等，?BAA
面直线AB1与BC1所成的角为.
3. 已知椭圆x?4(y?a)?4与抛物线x?2y有公共点.则a的取值范是.
2224. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆 端点）上运动，P为
Q的半径为1，圆心在线段CD（含
Q上及内部的动点，设向量AP?mAB?nAF(m、n?R).则
m?n的取值范围是.
nk?1k?Cn?1??5. 计算：??????.
k?0??k?1?2???6. 设P1(1,2,3),P2(2,4,1),P3(1,k,5),P4(4,k?1,3)是空间中体积为1的一个四面体的四个
顶点.则k?.
7. 已知数列?an?满足a0?0,an?1?86n2an?4?an(n?0,n?N).则a10?. 558. 将正方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个
端点颜色不相同，一共有种染法.
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二、解答题（共56分） 9.（16分）在?ABC中，若
cosAcosB??2，证明：?A??B?900. sinBsinA
10.（20分）已知双曲线y?
1?1?上有一点A?a,?(a?0)，点A关于原点的对称点为B，以ABax??长为半径作
A与双曲线交于P、Q、R三点.证明：?PQR为正三角形.
11.（20分）已知a、b、c?R?，且a?b?c?3.证明：
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222111???3. 2?a2?b2?c
加 试
0一、（40分）如图2，在?ABC中，?ABC?90，M为边AC的中点，AT?AC，TM的延长线与BC交于点D，联结TB.证明：?ABT??CAD.
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二、（40分）求方程x!?y!?xy的全部正整数解(x,y).
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三、（50分）已知n为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组ai(i?1,2,,n)，求
?n????ia??naiii?1??????
i?1i?的最大值.
?n2???a?ii?1??
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四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？
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江西省上饶县中学2017 - 2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)（无答案）
