高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含解析)新
人教A版选修12
知识点一 复数的乘除运算 1.复数(1+i)(2+3i)的值为( )
A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 答案 D
解析 (1+i)(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i. 2.在复平面内,复数
i2
+(1+3i)对应的点位于( ) 1+i
22
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析
i112
+(1+3i)=i++1-3+23i 1+i22
3?1?=-+?+23?i,对应点在第二象限. 2?2?知识点二 共轭复数
3.已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D
解析 由条件知:z=1-2i,其在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限,选D. 4.若z+z=6,z·z=10,则z=( ) A.1±3i B.3±i C.3+i D.3-i 答案 B
解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,
?2a=6,?∴?22
??a+b=10,
3
解得a=3,b=±1,则z=3±i.
知识点三 虚数单位i的幂的周期性 5.计算:i+i+i+…+ii解 解法一:原式=i·=
1+12i
=
1-i
2
2014
.
i[1-i=
1-i
2
1007
1-i1-i
2014
]
1+i
=-1+i. 2
解法二:∵i+i+i+i=i-1-i+1=0, ∴i+i
nn+1
234
+i
n+22
+i
n+3
=0(n∈N).
4
5
6
7
8
2009
*
∴原式=(i+i+i+i)+(i+i+i+i)+…+(i=0+i-1=-1+i.
易错点 误用判别式求解复数方程
3
+i
2010
+i
2011
+i
2012
)+i
2013
+i
2014
6.已知关于x的方程x+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为________. 易错分析 (1)求解本题易出现如下错误:因为方程有实数根,所以Δ=(k+2i)-4(2+ki)≥0,解得k≥23或k≤-23.需注意由于虚数单位的特殊性,不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.
(2)复数范围内解方程的一般思路是:依据题意设出方程的根,代入方程,利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程,也可以利用求根公式求解,要注意在复数范围内负数是能开方的,此外,根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时,不能利用判别式求解.
答案 ±22
解析 设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(x0+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
??x0+kx0+2=0,
由复数相等的充要条件得?
?2x0+k=0,?
2
2
2
2
?x0=2,
解得?
?k=-22,
?x0=-2,或?
?k=22,
所以k的值为-22或22.
一、选择题
10i
1.在复平面内,复数对应的点的坐标为( )
3+iA.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1) 答案 A 10i
解析 由=
3+i2.已知复数z=
10i3-i10
=
3+i3-i3+i1-3i
2
1+3i
=1+3i得,该复数对应的点为(1,3).
10
,z是z的共轭复数,则z·z=( )
11
A. B. C.1 D.2 42答案 A
解析 解法一:z=
3+i-2
1+3i
=
3+i
== 2
1-3i1-3-23i3+i1-3i
-2×4
=-31+i, 44
3+i
∴z=-
31-i. 44
∴z·z=?-解法二:∵z=
??31??31?311+i??--i?=+=. 44??44?16164
3+i1-3i
|3+i|21
,∴|z|===. 22
|1-3i|42
12
∴z·z=|z|=.
4
2-z3.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是z,则等于( )
zA.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i 答案 C
2-z2--1+i解析 由题意可得=
z-1-i=
3-i
-1-i
-1+i
=-1+2i,故选C.
-1+i
2
4.下面是关于复数z=的四个命题:
-1+i
p1:|z|=2, p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 答案 C
22-1-i2
解析 z===-1-i,所以|z|=2,p1为假命题;z=
-1+i-1+i-1-i(-1-i)=(1+i)=2i,p2为真命题;z=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.
二、填空题
3-i
5.计算:=______(i为虚数单位).
1+i答案 1-2i 解析
3-i3-i
=1+i1+i
1-i2-4i
==1-2i. 1-i2
2
2
1-i2012102
6.若z=-时,求z+z=________.
2答案 -1+i
?-1-i?2
解析 z=??=-i.
2??
2
z2012+z102=(-i)1006+(-i)51
=(-i)
1004
·(-i)+(-i)·(-i)=-1+i.
2483
7.设z2=z1-iz1(其中z1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为
________.
答案 1
解析 设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-iz1=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.故填1.
三、解答题
8.已知z∈C,z为z的共轭复数,若z·z-3iz=1+3i,求z. 解 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi(a,b∈R), 由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i, 即a+b-3b-3ai=1+3i,
??a+b-3b=1,则有?
?-3a=3,?
2
2
2
2
2
??a=-1,
解得?
?b=0,?
??a=-1,
或?
?b=3.?
所以z=-1或z=-1+3i. 9.复数z=
2
1+i
+31-ia2
,若z+<0,求纯虚数a.
2+iz2
解 由 z+<0可知z+是实数且为负数.
azazz=
1+i
+31-i2i+3-3i3-i
===1-i.
2+i2+i2+i
2
∵a为纯虚数,∴设a=mi(m≠0),则
amimi-mz2+=(1-i)2+=-2i+
z1-i2
??=-+?-2?i<0, 2?2?
m-<0,??2∴?m??2-2=0,
mm
∴m=4,∴a=4i.
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