高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业（含解析）新
人教A版选修12
知识点一 复数的乘除运算 1.复数(1＋i)(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 答案 D
解析 (1＋i)(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．在复平面内，复数
i2
＋(1＋3i)对应的点位于( ) 1＋i
22
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析
i112
＋(1＋3i)＝i＋＋1－3＋23i 1＋i22
3?1?＝－＋?＋23?i，对应点在第二象限. 2?2?知识点二 共轭复数
3.已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D
解析 由条件知：z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限，选D. 4．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝( ) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，
?2a＝6，?∴?22
??a＋b＝10，
3
解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
知识点三 虚数单位i的幂的周期性 5.计算：i＋i＋i＋…＋ii解 解法一：原式＝i·＝
1＋12i
＝
1－i
2
2014
.
i[1－i＝
1－i
2
1007
1－i1－i
2014
]
1＋i
＝－1＋i. 2
解法二：∵i＋i＋i＋i＝i－1－i＋1＝0， ∴i＋i
nn＋1
234
＋i
n＋22
＋i
n＋3
＝0(n∈N)．
4
5
6
7
8
2009
*
∴原式＝(i＋i＋i＋i)＋(i＋i＋i＋i)＋…＋(i＝0＋i－1＝－1＋i.
易错点 误用判别式求解复数方程
3
＋i
2010
＋i
2011
＋i
2012
)＋i
2013
＋i
2014
6.已知关于x的方程x＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________． 易错分析 (1)求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)－4(2＋ki)≥0，解得k≥23或k≤－23.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
(2)复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
答案 ±22
解析 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x0＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
??x0＋kx0＋2＝0，
由复数相等的充要条件得?
?2x0＋k＝0，?
2
2
2
2
?x0＝2，
解得?
?k＝－22，
?x0＝－2，或?
?k＝22，
所以k的值为－22或22.
一、选择题
10i
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
3＋iA．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 答案 A 10i
解析 由＝
3＋i2．已知复数z＝
10i3－i10
＝
3＋i3－i3＋i1－3i
2
1＋3i
＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．
10
，z是z的共轭复数，则z·z＝( )
11
A. B. C．1 D．2 42答案 A
解析 解法一：z＝
3＋i－2
1＋3i
＝
3＋i
＝＝ 2
1－3i1－3－23i3＋i1－3i
－2×4
＝－31＋i， 44
3＋i
∴z＝－
31－i. 44
∴z·z＝?－解法二：∵z＝
??31??31?311＋i??－－i?＝＋＝. 44??44?16164
3＋i1－3i
|3＋i|21
，∴|z|＝＝＝. 22
|1－3i|42
12
∴z·z＝|z|＝.
4
2－z3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则等于( )
zA．－1－2i B．－2＋i C．－1＋2i D．1＋2i 答案 C
2－z2－－1＋i解析 由题意可得＝
z－1－i＝
3－i
－1－i
－1＋i
＝－1＋2i，故选C.
－1＋i
2
4．下面是关于复数z＝的四个命题：
－1＋i
p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 答案 C
22－1－i2
解析 z＝＝＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；z＝
－1＋i－1＋i－1－i(－1－i)＝(1＋i)＝2i，p2为真命题；z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
二、填空题
3－i
5．计算：＝______(i为虚数单位)．
1＋i答案 1－2i 解析
3－i3－i
＝1＋i1＋i
1－i2－4i
＝＝1－2i. 1－i2
2
2
1－i2012102
6．若z＝－时，求z＋z＝________.
2答案 －1＋i
?－1－i?2
解析 z＝??＝－i.
2??
2
z2012＋z102＝(－i)1006＋(－i)51
＝(－i)
1004
·(－i)＋(－i)·(－i)＝－1＋i.
2483
7．设z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为
________．
答案 1
解析 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－iz1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.故填1.
三、解答题
8．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a＋b－3b－3ai＝1＋3i，
??a＋b－3b＝1，则有?
?－3a＝3，?
2
2
2
2
2
??a＝－1，
解得?
?b＝0，?
??a＝－1，
或?
?b＝3.?
所以z＝－1或z＝－1＋3i. 9．复数z＝
2
1＋i
＋31－ia2
，若z＋<0，求纯虚数a.
2＋iz2
解 由 z＋<0可知z＋是实数且为负数．
azazz＝
1＋i
＋31－i2i＋3－3i3－i
＝＝＝1－i.
2＋i2＋i2＋i
2
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
amimi－mz2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
z1－i2
??＝－＋?－2?i<0， 2?2?
m－<0，??2∴?m??2－2＝0，
mm
∴m＝4，∴a＝4i.
高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含解析)新人教A版选修12
