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全国“数学周报杯”2012年初中数学竞赛
试题(含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可以化简为（ ）． （A） （B） （） （D）a
1（乙）．如果 ，那么 的值为（ ）． （A） （B） （）2 （D）
2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （）（－2，3） （D）（3，2）
2（乙）． 在平面直角坐标系 中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （）7 （D）5
3（甲）．如果 为给定的实数，且 ，那么 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B） （） （D）
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3（乙）．如图，四边形ABD中，A，BD是对角线， △AB是等边三角形． ，AD = 3，BD = 5， 则D的长为（ ）． （A） （B）4 （） （D）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （）3 （D）4
4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）． （A） 5 （B） 6 （） 7 （D） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为 ，则 中最大的是（ ）． （A） （B） （） （D）
5（乙）．黑板上写有 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 ，然后删去 ，并在黑板上写上数 ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A）2012 （B）101 （）100 （D）99
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二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
6（乙）.如果a，b，是正数，且满足 ， ，那么 的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABD的边长为2 ， E，F分别是AB，B的中点，AF与DE，DB 分别交于点，N，则△DN的面积是 .
7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆上，以A为一条对角线作矩形BA，设直线B交圆于D、E两点，若 ，则线段E、BD的长度差是 。
8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+ k2－3k+ = 0的两个实数根分别为 ， ，那么 的值为 ．
8（乙）．设 为整数，且1≤n≤2012. 若 能被5整除，则所有 的个数为 .
9（甲）. 2位八年级同学和位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则的值为 .
9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，
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那么称 是三角形数．若 和 均为三角形数，且a≤b≤，则 的取值范围是 .
10（甲）如图，四边形ABD内接于⊙， AB是直径，AD = D. 分别延长BA，D， 交点为E. 作BF⊥E，并与E的延长线 交于点F. 若AE = A，B = 6，则F的 长为 .
10（乙）．已知 是偶数，且1≤ ≤100．若有唯一的正整数对 使得 成立，则这样的 的个数为 ． 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11（甲）．已知二次函数 ，当 时，恒有 ；关于x的方程 的两个实数根的倒数和小于 ．求 的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xy中，点A在y轴负半轴上，点B、分别在x轴正、负半轴上， 。点D在线段AB上，连结D交y轴于点E，且 。试求图像经过B、、E三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙的直径为 ， 过点 ，且与⊙内切于点 ． 为⊙上的点， 与 交于点 ，且 ．点 在 上，且 ，BE的延长线与 交于点 ，求证：△B∽△ ．
12（乙）．如图，⊙的内接四边形ABD中，A，BD是它的对角线，A的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）I是△IBD的外接圆的切线；
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（2）AB+AD = 2BD.
13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当 2012时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数 ，凸 边形中最多有多少个内角等于 ？并说明理由．
14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数 ，满足 ，且 .
14（乙）．将 ， ，…， （n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得 ，求 的最小值． 参考解答 一、选择题 1(甲) .
解：由实数a，b，在数轴上的位置可知 ，且 ， 所以 ． 1（乙）．B 解： ． 2（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
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全国“数学周报杯”2012年初中数学竞赛试题（含答案）
