（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2＝AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．
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（3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4
，BE＝5
，
，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE＝
．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（2019年广东深圳23题）
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23．（9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG； ①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标 （直接写出）； ②求
的最大值．
，F2（5，0）
【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；
（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标； ②应用相似三角形性质和三角函数值表示出
＝
，令y＝
CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论． 【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDA＝90° ∵OA＝OB ∴OD＝OB＝OA ∴∠OBD＝∠ODB ∵EB＝ED
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∴∠EBD＝∠EDB
∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB 即：∠EBO＝∠EDO ∵CB⊥x轴 ∴∠EBO＝90° ∴∠EDO＝90° ∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N， ∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90° ∴△ANF∽△ABC ∴
∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝
＝
＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k ∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k ∴tan∠ACF＝∴
即F1（
，0）
＝
＝，解得：k＝
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M， ∵△AMF2∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k ∴CM＝CA+AM＝10+3k ∴tan∠ACF＝解得：
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∴AF2＝5k＝2 OF2＝3+2＝5 即F2（5，0） 故答案为：F1（
，0），F2（5，0）．
②如图4，∵CB为直径 ∴∠CGB＝∠CBF＝90° ∴△CBG∽△CFB ∴
∴BC2＝CG?CF CF＝
∵CG2+BG2＝BC2， ∴BG2＝BC2﹣CG2 ∴
＝
＝
∴＝
令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣CG4+64CG2＝﹣[（CG2﹣32）2﹣322]＝﹣（﹣32）2+322 ∴当CG2＝32时，
此时CG＝4
＝＝．
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CG2
2019年中考数学压轴题汇编(几何1) 解析版
