在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
?BD?CD(中点的定义)∵???1??CDM(对顶角相等) ?ED?MD(辅助线的作法)?AE2341DFCB图4?1M ∴△BDE≌△CDM （SAS）
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中
?ED?MD(辅助线的作法) ∵???EDF??FDM(已证)
?DF?DF(公共边)? ∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF
注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边ABDCE比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造
2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中
?BD?CD(已证) ???ADC??EDB(对顶角相等)
?AD?ED(辅助线的作法)?图5?1E ∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
AFBCD图5?2练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。 分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段BNA21PD图6?1CM之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中
?AN?AC(辅助线的作法)∵? ??1??2(已知)?AP?AP(公共边)? ∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中
?AB?AM(辅助线的作法) ∵ ?
??1??2(已知)?AP?AP(公共边)? ∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
E证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于
AOBD图7?1C
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