f?x??{1,x?Q0,x?CRQ ，则称f?x?为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f?x?，给出下面4个命题：①对
任意x?R，都有f?②对任意x?R，都有f??x??f?x??0；③对任意x1?R，都有x2?Q， ?f?x????1；
f?x1?x2??f?x1?；④对任意a,b????,0?，都有xf?x?a?xf?x?b．其中所有真命题的序号
是（ ）
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④ 【答案】D
????（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有{x|（fx）＞a}?{x|（fx）＞b}?R ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D．
4．【北京市朝阳区2024届第一学期期末】如图， ?PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面
PAD?平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP?MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（ ）
A． 椭圆的一部分 B． 双曲线的一部分 C． 一段圆弧 D． 一条线段 【答案】D
【解析】在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P,C两点的距离相等，记此平面为?，平面?与平面ABCD 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段，选A．
5．【湖南省株洲市2024届教学质量统一检测】已知直三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为
2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1,BB1,CC1，分别交于三点M,N,Q，若?MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ） A． 22 B． 3 C． 23 D． 4 【答案】C
当a?b?b?c时取等号．故答案为23．故选C．
6．【河北省衡水市阜城中学2017-2024上学期第五次月考】定义方程f?x??f??x?的实数根x0叫做函数
f?x?的“新驻点”，若函数g?x??x， h?x??ln?x?1?，??x??x3?1的“新驻点”分别为?,?,?，
则?,?,?的大小关系为（ ）
A． ????? B． ????? C． ????? D． ????? 【答案】C
7．【吉林省实验中学2024届一模】在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中, AA1?4,AB?BC?2 ，动点P,Q 分别在线段C1D,AC上，则线段PQ 长度的最小值是（ ）
A． 2325224 B． C． D． 3333【答案】C 【解析】
建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),
10?16?m?9????P?0,t,2t?,t??0,2,Q2?m,m,0,m?0,2?PQ?5t??m???????? ????5?5?9?9?22
当且仅当5t?m?104时，PQ取最小值 ，选C． 938．【陕西省西安市长安区一中2017-2024上学期期末】已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
AB?2,CC1?22， E为CC1的中点，则直线AC1 与平面BED的距离为（ ）
A． 1 B． 3 C． 2 D． 2 【答案】A
9．【河南省南阳市一中2017-2024上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列?an?，定义向量
uuvuuvcn??an,an?1?，bn??n,n?1?， n?N*．下列命题中真命题是（ ）
uuvuuvA． 若?n?N总有cn?bn成立，则数列?an?是等比数列
*
uuvuuvB． 若?n?N总有cnPbn成立，则数列?an?是等比数列
*uuvuuvC． 若?n?N总有cn?bn成立，则数列?an?是等差数列
*uuvuuvD． 若?n?N总有cnPbn成立，则数列?an?是等差数列
*【答案】D
10．【北京市海淀区2024届第一学期期末】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为42，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM?1，则PQ长度的最小值为_____． 【答案】33 【解析】 由题意得，过点Q作QN?平面ABCD，垂足为N， 在点N在线段AC上，分别连接PQ,PN, 在直角?PNQ中， PQ?QN?PN?22?42?2?PN，
2 在平面ABCD内过点M作MA?AC，则MA?2，即M到直线AC的最短距离为2， 又PM?1，当P?MA时，此时PNmin?MA?1?1, 所以PQ的最小值为PQmin??42?2?12?33．
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