一．方法综述
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。
二．解题策略
类型一 定义新知型临界问题
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝{2
2
C?A??C?B?,C?A??C?B?C?B??C?A?,C?A??C?B? 若A＝{1,2}，B＝{x|(x＋ax)·(x＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7 【答案】B
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，
所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 【举一反三】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝{a,a?bb,a?b ，a∨b＝{b,a?ba,a?b 若正数a，
b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（ ）
A． a∧b≥2，c∧d≤2 B． a∧b≥2，c∨d≥2 C． a∨b≥2，c∧d≤2 D． a∨b≥2，c∨d≥2 【答案】C
【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．
若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2． 若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2． 本题选择C选项．
类型二 高等数学背景型临界问题
【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①②
【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算
a1a3a2a4?a1a4?a2a3，将函数
f?x??A．
3sinx的图像向左平移n(n?0)个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小值为（ ）
1cosx??2?5? B． C． D． 6336【答案】D
【解析】函数f?x????3sinx??3cosx?sinx?2cos?x??的图象向左平移n（n＞0）个单位，
6?1cosx???），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z， 66所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+则n的最小值为
5?，故选：D． 6类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点P为棱长是3的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点P满足BP?AC1，则动点P的轨迹的长度为__________． 【答案】6?
【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体
ABCD?A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（ ）
A． ?0,? B． ?0,? C． ?,1? D． ?,1?
3322??1????1???2????1???【答案】B 【解析】
依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当0?BM?面为四边形，当BM?1时，截21时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM的取值范2围是?0,?，故选B．
2??1??三．强化训练
vvvvv?1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量?和?，定义????vcos?，其中
?vvvvvvvvvv???若两个非零的平面向量a和b满足：①a?b；②a和b的夹角???0,?；③a?b?为?和?的夹角．
?4?vvnvv??和b?a的值都在集合?x|x?,n?N ?中．则a?b的值为（ ）．
2??A．
531 B． C． 1 D． 222【答案】B
2．【北京市西城区2017— 2018第一学期期末】设?为空间中的一个平面，记正方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点中到?的距离为d(d?0)的点的个数为m， m的所有可能取值构成的集合为M，则有（ ） A． 4?M， 6?M B． 5?M， 6?M C． 4?M， 6?M D． 5?M， 6?M 【答案】D 【解析】
当?为面BB1D1D时，A,C, C1,A1到面?的距离相等，即4?M，排除C;
取E,F,G,H为BC，B1C1，C1D1， CD的中点，记?为EFGH时，点B,B1,D1,D,C,C1，六个点到面?的距离相等，即6?M，排除A,B． 故选D．
3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若
专题7.3+临界知识问题+玩转压轴题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品
