C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小 D．与阶数较高的那阶同阶 6．试决定当x?0时，下列哪一个无穷小是对于x的三阶无穷小( B ) A．3x2?x B．a?x3?a(a?0是常数) C．x3?0.0001x2 D．3tanx 7．指出下列函数中当x?0?时( D )为无穷大 A．2?xsinx C．e?x D．ex ?1 B．
1?secx1?1?x?1?x,?8．f?x???x?k,? A．0 B．2 C．9．使函数y?x?0x?0，如果f?x?在x?0处连续，那么k?( D )
1 D．1 2?x?1?x?1为无穷小量的x的变化趋势是( C ) 3x?1 A．x?0 B．x?1 C．x??1 D．x??? 10．设f?x??xy1，若f?x??f?y??f?z?，则z=。
x?yx??x,x?0?x,x?0?11．若??x???而f?x???2?x?，则??f?x????0,x?0。
??x,x?0?x,x?0?1?ex,???x?0??12．若f?x???3x,0?x?1在x?1处连续，则a? 0 。
?e2ax?eax?1,1?x?????x3?ax2?x?413．设lim有有限极限值L，则a? 4 ，L? 10 。
x??1x?114．lim?x?ax?a?x?ax?ax??22(a?0) =
12a。
15．证明limsinx不存在。 设limsinx?A，但对??x??1?3?，???，k?0使2k???M，2k???M，42236
??3???但sin?2k????1，sin?2k??2?2??内，故limsinx不存在。
x??11??????1，而1，?1不能同时落在?A?,A??44???16．求limn1?xn(0?x?1)。
n??1??解：原式?lim?1?xnn?n??x????xnn?1
17．求lim?3?9xx???1xx?。
解：lim?3?9xx???1xx?（??）
?limex???lim1ln3x?9xx???eln3x?9xx???xlim??????? ????ex???limln33x?9x?ln3?9x3?9xx3xln3?9xln93?9xx3xln3?9xln9?? ?ex????e3?9xx?3
18．设g?x?在x?0处连续，且g?0??0，以及f?x??g?x?，试证：f?x?在x?0处连续。
证：???0，由于g?x?在x?0处连续，所以???0，当x??时，恒有由假设f?x??g?x?，g?0??0，易知f?x??0，故当x??g?x??g?0??g?x???，
时，恒有f?x??f?0???，即f?x?在x?0处连续。
19．利用极限存在准则证明：数列2，2?2，2?2?2，…的极限存在。
证：设x,2,?,xn?1?2?xn，n?1,2,?，
以下证明①?xn?有上界；②?xn?单增 ①（用归纳法证）
当n?1时，x1?2?2，假定n?k时，xk?2，则 当n?k?1时，xk?1?2?xn?2，所以xn?2(n?1,2,?) ②?xn?单调增加
37
事实上xn?1?xn?2?xn?xn?22?xn?xn2?xn?xn???xn?2??xn?1?2?xn?xn由于
xn?2，所以xn?1?xn?0，由①②，据极限存在准则Ⅱ知limxn存在。
n???1?c20．设f?x?适合af?x??bf???(a、b、c均为常数)且a?b，试证：
?x?xf??x???f?x?。
?1?c证：由于f?x?满足：af?x??bf???(a、b、c为常数)
?x?xc?1?故f??x?满足：af??x??bf?????
x?x???1??1??得：a?f?x??f??x???b?f?f?0，∵a?b。 ???????x??x?????21．设函数f在???,???内有定义，f?x??0，f?x?y??f?x??f?y?，试求
f?1985?。
解：由于f?0??f?0?1985??f?0?f?1985?，且由假设f?0??0，故f?1985??1。 22．设??x?、??x?、f?x?都为单调增加函数，且对一切实数x均有：
??x??f?x????x?，求证????x???f?f?x???????x??。
证：?x?R，有??x??f?x????x?，由于f?x?的单增性，可知f????f?x?，∴????x???f???x??，∵f?x????x?，∴f???x???????x??，于是得
????x???f?f?x???????x??
2?当x?0时左右极限不存在。 x12?证：不妨设lim?sin?A，对??，???0，?k?0，使0?x?02x23．证明f?x??sin2?2k??sin?2??，
0?2?3?2k??2??，但sin2?2?2k???238
????sin?2k????12??，
2?3?2k??2
3???sin?2k??2?11?2???而1，-1不能同时落在?A?,A??内，故f?x??sin，???1，
22?x??当x?0?时，极限不存在，同理可证：f?x??sin在。
1??1?24．设xn??1?2??1?2?2??3????2?，当x?0?时的极限不存x1???1?2?，证明：当n??时xn的极限存在。 ?n?1???1?n2? ????11????2??2?解：limxn?lim?1?21?3????n?xn?x??????2 ?limn?x2?132?1?n2?1 2222?3???n????? ?lim?2?1??3?1???n?1??2?1??3?1???n?1? n???n!?2?n?1?!?n?1?!?limn?1?1
2n??n??2n22?n!? ?lim25．若f?x?在?a,b?上连续，a?x1?x2???xn?b，则在?x1,xn?上必有?，使f????f?x1??f?x2????f?xn?。
n证：令m?min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，M?max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，则
x1,x2,?,xn中至少有一个xi，使f?xi??m，至少有一个xj，使f?xj??M，显然
有
1nm?f?xi???f?xk??f?xj??M (Ⅰ)
nk?1当Ⅰ式中两个“?”中有一个取等号时，则对应的xi(或xj)即为?，当Ⅰ式中的两个“?”号都不能取符号时。由于f?x?闭区间?xi,xj?(或?xj,xi?)上连续，由介
1n值定理知至少存在一点???xi,xj?或?xj,xi?，使f?????f?xk?，以上两种情况
nk?1下得到的?显然都在?x1,xn?上。
26．证明，若f?x?在???,???内连续，且limf?x?存在，则f?x?必在???,???x?? 39
内有界。
证：令limf?x??A，则对给定的一个??0，?X?0，只要x?X，就有
x??f?x??A??，即A???f?x???A??，又由f?x?在闭区间??X,X?上连续，根据有界性条件， ?M?0，使f?x??M，x???X,X?，取N?max?M,A??,A???，则f?x??N，x????,???。
27．limn?n??n?1???n???1992，求?、?的值。 n?n??lim?1992，所以由????1，且n????n??1解：由于limn???n???n?1????11，知???1。 1992199228．证明方程
a3a1a2???0，在??1,?2?，??2,?3?内有唯一的根，x??1x??2x??3其中a1，a2，a3均为大于0的常数，且?1??2??3。
证：设F?x??a3a1a2??F?x??C??2,?3?，，易知F?x??C???,?2?，x??1x??2x??3取?充分小，且??0，则易知F?x1????0，F??2????0；F??2????0，
F??3????0，由连续函数的零值定理知：F?x??0在??1,?2?与??2,?3?内分别有
根，又由于F??x???1?x??1?2?122?x????x???3?12?0，故F?x?在??1,?2?与
??2,?3?内单调，所以在?a1,a2?，?a2,a3?内均只有唯一的根。
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（完整版）函数、极限与连续习题及答案
