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∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm． ∴CG=CF=6.4cm．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用．属于基础题．
4. （ 2024?广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E． （1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
考点：切 线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证 明题．
分析：（ 1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，
则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3， 所以∠1=∠2；
（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，
2，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+t2=（t+1）解得t=4，
则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG． 解答：（ 1）证明：连结OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，
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∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°， ∵OC=OD， ∴∠C=∠ODC， ∴∠2+∠C=90°， 而OC⊥OB， ∴∠C+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3， ∴OF=1， ∵∠1=∠2， ∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x， ∵OD2+DE2=OE2，
∴32+t2=（t+1）2，解得t=4， ∴DE=4，OE=5， ∵AG为⊙O的切线， ∴AG⊥AE， ∴∠GAE=90°， 而∠OED=∠GEA， ∴Rt△EOD∽Rt△EGA， ∴
=
，即
=
，
∴AG=6．
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点评：本 题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和相似
三角形的判定与性质．
5．(2024年四川资阳，第21题9分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若AB=2，AC=2
，求AE的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网 专题： 证明题．
分析： （1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD， 由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD； （2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2
，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，
然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE． 解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，
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∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD； （2）解：∵AB=2， ∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2∴OC=
=3，
，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴
=
，即．
=
，
∴CE=
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
6．（2024?新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD=2
，求⊙O的半径．
=
=
，
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考点： 切线的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4． 解答： （1）证明：连结OC，如图， ∵=， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵==，
2024全国数学中考试题汇编之17点直线与圆的位置关系(含解析)
