杨老师教学菁品堂
∴PA=故答案为4． =4． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三.解答题
1. （ 2024?广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
考点： 切线的判定；弧长的计算． 分析： （1）根据弧长计算公式l=
进行计算即可；
（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．
解答： （1）解：∵AC=12，
∴CO=6， ∴
=
=2π；
（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中，
，
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∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO；
（3）证明：如图，连接AP，PC，
∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA， 由（1）得OD=EO， ∴∠ODE=∠OED， 又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE， ∴AP∥DF， ∵AC是直径， ∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF， 又∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF， ∴∠CEF=∠EFC， ∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线， ∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA，
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∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF， ∴PF是⊙O的切线．
点评： 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．
2. （ 2024?珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H． （1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．
考点：切 线的性质；扇形面积的计算；平移的性质 专题：计 算题．
分析：（ 1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=3，
EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=﹣OB=；
（2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积． 解答：解 ：（1）连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3， ∴BC=
=5，
，所以BE=OE
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF， ∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
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∵EF与半圆O相切于点G， ∴OG⊥EF，
∵AB=4，线段AB为半圆O的直径， ∴OB=OG=2， ∵∠GEO=∠DEF， ∴Rt△EOG∽Rt△EFD， ∴
=
，即
=，解得OE=﹣2=；
，
∴BE=OE﹣OB=
（2）BD=DE﹣BE=4﹣=． ∵DF∥AC，
∴，即，
解得：DH=2．
∴S阴影=S△BDH=BD?DH=××2=，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．
点评：本 题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾
股定理和相似三角形的判定与性质．
3. （ 2024?广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm． （1）求证：BO⊥CO； （2）求BE和CG的长．
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考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析：（1） 由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF
和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；
（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长． 解答：（1）证明：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC=
，∠OCB=
，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=90°， ∴BO⊥CO．
（2）解：连接OF，则OF⊥BC， ∴RT△BOF∽RT△BCO， ∴
=
，
∵在RT△BOF中，BO=6cm，CO=8cm， ∴BC=∴
=
，
=10cm，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切， ∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
2024全国数学中考试题汇编之17点直线与圆的位置关系(含解析)
