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点直线与圆的位置关系
一、选择题
1．(2024年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20°
B． 25°
C． 40°
D． 50°
考点： 切线的性质．
分析： 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数． 解答： 解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=25°， ∴∠AOC=50°， ∴∠C=40°．
点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
2.（2024?邵阳，第8题3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）
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A． 30° 考点： 专题： 分析： B． 45° C． 60° D． 40° 切线的性质 计算题． 根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°． 解答： 解：连结OB，如图， ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵∠AOB=∠C+∠OBC， 而∠C=∠OBC， ∴∠C=故选A． AOB=30°． 点评：
3. （2024?益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
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（第1题图）
A． 1
B． 1或5
C． 3
D． 5
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故选B．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
4．（2014年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论： （1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）
A． 分析：
4个
B． 3个
C． 2个 D． 1个
（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即
可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB； （4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．
解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°， 在△PCO和△PDO中，
，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，
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∴PD与⊙O相切，故此选项正确； （2）由（1）得：∠CPB=∠BPD， 在△CPB和△DPB中，
，∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确； （3）连接AC，
∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°， 在△PCO和△BCA中，
，∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°， ∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确； （4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A． 点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
二.填空题
1. （ 2024?广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=
．
考点：切 线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 专题：计 算题．
分析：连 结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线
的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
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解答：解 ：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M， ∴OM⊥MF， ∵EF∥MN， ∴MC⊥EF， ∴CE=CF， ∴ME=MF， 而ME=EF， ∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴cos∠E=cos60°=． 故答案为．
点评：本 题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边
三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．
2．（2024?温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=
：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
考点：切 线的性质；矩形的性质．
分析： 点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=过
：2，得：EG：EN=
：
2024全国数学中考试题汇编之17点直线与圆的位置关系(含解析)
