∴m≤h（a）min．
∵x∈[1，e2]，∴lnx≥0，
∴h（a）在[1，]上单调递增， ∴h（a）min=h（1）=lnx﹣x，
∴m≤lnx﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立． 由y=lnx﹣x（1＜x≤e2）的导数为y′=﹣1＜0， 则函数y=lnx﹣x（1＜x≤e2）递减， ∵1＜x≤e2，∴lnx﹣x≥2﹣e2， 则m≤2﹣e2．
则实数m的取值范围为（﹣∞，2﹣e2]．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：点（3，﹣1）．
（1）求椭圆C的方徎； （2）若动点P在直线l：x=﹣2
+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过
上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，
再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出（2）直线l的方程为x=﹣2
，设P（﹣2
，y0），
，同此能求出椭圆C的方程．
，当y0≠0时，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为从而得到l′恒过定点点
．
．当y0=0时，直线MN为
，
，由此推导出l′恒过定
【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），
∴
解得a2=12，b2=4，
，
∴椭圆C的方程为
（2）∵直线l的方程为x=﹣2
． ，
设P（﹣2，y0），， 当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，
联立，
∴，
∴，
又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，
∴直线MN的斜率为又l′⊥MN，∴l′的方程为，
，
即
∴l′恒过定点
， ．
，
当y0=0时，直线MN为
此时l′为x轴，也过点
综上，l′恒过定点．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4﹣1：几何证明选讲
，
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2（Ⅰ）求∠AEC的大小； （Ⅱ）求AE的长．
，∠APB=30°．
【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；
（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线， 所以：∠AOB=60°； ∵OA=OB
∴∠AB0=60°； ∵∠ABC=∠AEC ∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=在RT△AHD中，HD=2，∴AD=∵BD?DC=AD?DE， ∴DE=
．
．
=
．
，
∴AE=DE+AD=
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣
）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值． 【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基
本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．
（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则的基本关系消去参数α可得，
（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆． （Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣
）=a化为直角坐标方程为
+
，利用同角三角函数
=2a，
由题意可得直线C与圆相切，故有
=3，解得 a=3 或a=﹣3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题． 【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，
得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，由于f（x）≥2，
则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤； ②当1≤x≤1时，1≥2，无解； ③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；
，
（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，
只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．
2019年吉林单招文科数学模拟试题（一）[含答案]
