【解答】解：由三视图得到几何体如图： 其体积为故答案为：
；
15．将函数f（x）=cos2x+
sin2x的图象向左平移m（m＞0）单位后所得的图象关于y
轴对称，则m的最小值为 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得图象对应的函数解析式，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得m的最小值． 【解答】解：将函数f（x）=cos2x+单位后， 得到y=∴2m﹣
cos（2x+2m﹣
sin2x=
cos（2x﹣
）的图象向左平移m（m＞0）
）的图象，由于所得图象关于y轴对称，
，
=kπ，k∈Z，则m的最小值为
．
故答案为：
16．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，
点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2
的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 为﹣x2=1 ．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的
定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：近线的方程为ax﹣by=0，
﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，
∴，
∴2b=a，
∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3， ∴FF1=3， ∴c2+4=9， ∴c=
，
∵c2=a2+b2，a=2b， ∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为﹣x2=1．
故答案为：
﹣x2=1．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}的通项公式是bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列{an}的通项公式；
（2）求出数列{bn}的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则 ∵S6=51，
∴×（a1+a6）=51， ∴a1+a6=17， ∴a2+a5=17，
∵a5=13，∴a2=4， ∴d=3，
∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2； （2）bn=
=﹣2?8n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和Sn==（8n﹣1）．
18．某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组．
（Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；
（Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由．
【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）由题意推导出演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．由此能求出选出的两名同学恰有一名女同学的概率．
（Ⅱ）由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差，由此能求出哪位同学的成绩更稳定． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知：P==． 设演讲比赛小组中有x名男同学，则6817=4x， ∴x=1，
∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人． 把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b， 则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b）， （a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2）， （a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种． 其中恰有一名女同学的情况有6种，
所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P=（Ⅱ）﹣x1=51×（69+71+72+73+75）=72， ﹣x2=51×（70+71+71+73+75）=72，
=．
=51×[（69﹣72）2+（71﹣72）2+（72﹣72）2+（73﹣72）2+（75﹣72）2]=4， =51×[（70﹣72）2+（71﹣72）2+（71﹣72）2+（73﹣72）2+（75﹣72）2]=3.2． 因此第二个演讲的同学成绩更稳定． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．
【考点】直线与平面平行的性质． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理只要证明BC⊥面AA1C1C，即可． （2）根据线面平行的判定定理和性质定理，即可确定F的位置． 【解答】解：（1）∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC， ∴BC⊥AA1．
又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC=A， ∴BC⊥面AA1C1C，
又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1． （2）（法一）当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．
理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG． ∵B1E=3EC1，∴EG=43A1C1， 又AF∥A1C1且AF=43A1C1， ∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，
又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1． （法二）当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．
理由如下：在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG． ∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1， ∴EG∥平面A1ABB1． ∵B1E=3EC1，∴BG=3GC， ∴FG∥AB，
又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1， ∴FG∥平面A1ABB1．
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG=G， ∴平面EFG∥平面A1ABB1．
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1．
20．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．
（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=﹣相切，求函数f（x）在[，e]上的最大值； （2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出f（x）的导数f′（x），由条件可得f（1）=﹣且f′（1）=0，列出方程，解出a，b即可；
（2）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h（a）min．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2bx， 又函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，
∴，解得．
，
f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=﹣x=﹣当x∈[，1），f′（x）＜0，f（x）递增， 当x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）递减． 即有f（x）的最大值为f（1）=﹣； （2）当b=0时，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立， 即m≤alnx﹣x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立， 令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，
2024年吉林单招文科数学模拟试题（一）[含答案]
