(x2?3x2?3...?3x2)R(y2?3y2?3...?3y2)?y1?3x2Ry1?3y2??????????????????y1个x2y2个y1因R是等价关系，故是可传递的，所以有x1?3x2Ry1?3y2 所以R对?3具有代换性质。
(2) S?{?0,0?,?1,1?,?2,2?,?1,2?,?2,1?}对?3具有代换性质，
但对?3不具有代换性质，因?2,2??3?1,2???0,1??S
4．设代数系统V??G,??，R1,R2为同余关系。 (1)即证：R1?R2为同余关系 证明：R1?R2为等价关系
若w??对任意
a1,b1,a2,b2,...anw,bnw?G
?R2)bnw 有a1(R1?R2)b1,a2(R1?R2)b2,…anw(R1 则a1R1b1， a2R1b2，…
anwR1bnw
a1R2b1， a2R2b2，…
?R1?R2为同余关系
anwR2bnw?w(?a1,a2,...anw?)R1w(?b1,b2,...bnw?) ?w(?a1,a2,...anw?)R2w(?b1,b2,...bnw?) ?w(?a1,a2,...anw?)R1?R2w(?b1,b2,...bnw?)
所以R1?R2为同余关系。 (2) R1?R2为等价关系
若w??对任意
a1,b1,a2,b2,...anw,bnw?G
有a1(R1?R2)b1, a2(R1?R2)b2,…anw(R1?R2)bnw
未必有a1R1b1， a2R1b2，…
anwR1bnww
a1R2b1， a2R2b2，…
因此，可能不满足代换性质
anwR2bn
所以R1?R2未必是同余关系。
5．
（1）xRy,当且仅当(x?0?y?0)?(x?0?y?0) 解：R不是?I,??上的同余关系，取x1但是x1?0,y1?3,x2??1,y2??2,则x1Ry1,x2Ry2，
?x2??1?0，y1?y2?1?0，因此x1?x2Ry1?y2，不满足代换性质。
（2）xRy, 当且仅当x?y?10 解：R不是?I,??上的同余关系，取
x?0,y?9,z?15，则xRy，
yRz，但
|x?z|?15?10，xRz，R不满足可传递性，不是等价关系。
（3）xRy,当且仅当(x?y?0)?(x?0?y?0) 解：R不是?I,??上的同余关系，取取x1但是x1??3,y1?2,x2?3,y2?2,则x1Ry1,x2Ry2，
?x2?0，y1?y2?4?0，因此x1?x2Ry1?y2，不满足代换性质。
（4）xRy,当且仅当x?y
解：R不是?I,??上的同余关系，取x?9,y足对称性，不是等价关系。
?8，则xRy，但y?x，即yRx，R不满
6.4第143页
1. 解：
（1）设F2?F3??N2?N3,?,e?
其中，N2?N3?{?0,0?,?0,1?,?0,2?,?1,0?,?1,1?,?1,2?}
任取?a1,b1?,?a2,b2??N2?N3
?a1,b1???a2,b2???a1?2a2,b1?3b2? ?a1,b1?e?a2,b2???a1?2a2,b1?3b2?
下面通过运算表构造*运算（这里仅给出了一个运算表，另一个照推）
?
<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <0,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <0,1> <0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <0,2> <0,0> <0,2> <0,1> <1,0> <1,2> <1,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,0> <0,0> <1,1> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,1> <1,2>
<1,0>
<1,2>
<1,1>
<0,0>
<0,2>
（2）设F3?F2??N3?N2,?',e'?
其中，N3?N2?{?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?,?2,0?,?2,1?}
任取?a1,b1?,?a2,b2??N3?N2
?a1,b1???a2,b2???a1?2a2,b1?3b2? ?a1,b1?e?a2,b2???a1?2a2,b1?3b2?
运算表的构造方法与上同。 2.
(1) 证明：任取?x1,y1?,?x2,y2??X?Y，
?x1,y1???x2,y2???x1?x2,y1*y2?
??和*可交换
??x1,y1???x2,y2???x1?x2,y1*y2???x2?x1,y2*y1???x2,y2???x
1,y1???是可交换的。
<1,2> <1,0> <1,2> <1,1> <0,0> <0,2> <0,1>
(2) 任取?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3??X?Y
?x1,y1???x2,y2???x3,y3???x1?x2?x3,y1*y2*y3?
??和*可结合
??x1,y1???x2,y2???x3,y3???x1?x2?x3,y1*(y2*y3)???x1,y1???x2?x3,y2*y3???x1,y1??(?x2,y2???x3,y3?)
??是可结合的。
3.
?m
0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 <0,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <1,0>
1 1 2 3 4 5 0 <0,1> <0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2>
2 2 3 4 5 0 1 <0,2> <0,0> <0,2> <0,1> <1,0> <1,2> <1,1>
3 3 4 5 0 1 2 <1,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,0> <0,0> <0,0>
4 4 5 0 1 2 3 <1,1> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,1> <0,2>
5 5 0 1 2 3 4 <1,2> <1,0> <1,2> <1,1> <0,0> <0,2> <0,1>
?
<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2> 证明：
① ?A2?A3?与A6都只有一个二元运算，故为同型的。 ② ?A2?A3?与A6定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。 ③ 构造双射函数
f(?0,0?)?0,f(?0,1?)?1,f(?0,2?)?2,f(?1,0?)?3,f(?1,1?)?4,f(?1,2?)?5由上图可知，像的运算=运算的像 所以?A2?A3?与A6是同构的。
6.5第155页
1. （1）半群 （2）半群 （3）半群
（4）独异点，么元0
（5）不是半群，取a=b=1,c=2，则
(a?3b)?3c?1a?3(b?3c)?2不满足结合律
（6）不是半群，因为||不是二元运算； （7）半群
（8）独异点，么元0 （9）半群
（10）独异点，么元为恒等关系； （11）独异点，么元为a 2.
（1）二元运算表如下图所示： GCD 1 2 3 4 6 8
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 2
3 1 1 3 1 3 1
4 1 2 1 4 2 4
6 1 2 3 2 6 2
8 1 2 1 4 2 8
12 1 2 3 4 6 4
24 1 2 3 4 6 8
离散数学第二版(6-7章)
