那么
f(xgy)?f(2k1g2k2)?f(2k1?k2)?1，f(x)?f(y)?1
f(x)gf(y)?1g1?1?f(xgy)
（2） x和y都不能表示成2，那么xgy也不能表示成2
kkf(xgy)?0,f(x)?f(y)?0 f(x)gf(y)?0g0?0?f(xgy)
（3） x可以表示成2，y不能表示成2，那么xgy也不能表示成2
kkkf(xgy)?0,f(x)?1,f(y)?0 f(x)gf(y)?1g0?0?f(xgy)
（4） x不可以表示成2，y能表示成2，那么xgy也不能表示成2
kkkf(xgy)?0,f(x)?0,f(y)?1 f(x)gf(y)?0g1?0?f(xgy)
可知，无论x和y如何取值，都能够保证综上所述，5．
证明：设U??{a,b,c},??，V??{1,2,3},??
首先，U和V都仅有一个二元运算，因此U和V是同类型的；
第二，U和V的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件；
第三，寻找特异元素，U中么元是a，右零元是c，三个元素都是等幂元；V中么元是3，右零元是1，三个元素都是等幂元。 第四，在U和V的定义域之间构造双射函数把*运算表中的元素都用f下的像点代替，得
3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 2 1
调整表头的顺序为1，2，3，转变为下表
1 2 3 f(x)gf(y)?f(xgy)。
f是U到V的同态映射。
f，使得
f(a)?3,f(b)?2,f(c)?1。
1 2 3
1 1 1 2 2 2 1 2 3
跟V中?运算表完全相同，因此代数系统?{a,b,c},??和?{1,2,3},??是同构的。 6.证明：
(1) 两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。 (2) 构造函数f，使得(3) 对于任意的X,Y??(X)
，显然f是双射函数。
故 ，所以满足运算的像=像的运算。 由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。
7.解：
fp(X)?(px)mod6,p?0,1,2,3,4,5
当p?0时，f0零同态；
当p?1时，f1恒等映射，自同态；
当p?2时，f2?{?0,0?,?1,2?,?2,4?,?3,0?,?4,2?,?5,4?}； 当p?3时，f3?{?0,0?,?1,3?,?2,0?,?3,3?,?4,0?,?5,3?}； 当p?4时，f4?{?0,0?,?1,4?,?2,2?,?3,0?,?4,4?,?5,2?}； 当p?5时，f5?{?0,0?,?1,5?,?2,4?,?3,3?,?4,2?,?5,1?}自同构。
8.证明：x?1?0的n个复数根可表示成：
n2?xki?coski??sinki?i,??,ki?0,1,2,....n?1n(1) ?En,??与?Nn,?n?都含有一个二元运算，故为同型的。 (2) ?En,??与?Nn,?n?定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。
(3) 构造双射函数
f(xki)?ki?modn?
对于任意的xk1,xk2?En，
f(xk1?xk2)?f((cosk1??sink1?i)?(cosk2??sink2?i))?f(cosk1??cosk2??cosk1?sink2?i?sink1cosk2?i?sink1sink2i2)?f(cosk1??cosk2??cosk1?sink2?i?sink1cosk2?i?sink1sink2) ?f(cos(k1?k2)??sin(k1?k2)?i)?(k1?k2)(modn)f(xk1)?nf(xk2)?k1(modn)?nk2(modn)?(k1(modn)?k2(modn))(modn)?(k1?k2)(modn)因此，f(xk1?xk2)?f(xk1)?nf(xk2)。 由(1),(2),(3)可知，?En,??
9．证明：
(1) ?g是代数系统?X,*?到当?Y,??的同态映射 ?g[X]?Y
又??X1,*?是?X,*?的子代数
同构于
?Nn,?n?。
?X1?X ?g[X1]?Y
(2) 对于?a,b?g[X1]，必存在Xa,Xb?X1， 使得g[Xa]?a，g[Xb]?b,
a?b?g[Xa]?g[Xb]
由于g为代数系统?X,*?到当?Y,??的同态映射
?g[Xa]?g[Xb]?g[Xa*Xb]
?Xa,Xb?X1，又??X1,*?是?X,*?的子代数
故X1对*运算封闭
?Xa*Xb?X1
?g[Xa*Xb]?g[X1]，即a?b?g[X1] ?g[X1]对?运算满足封闭性。
由(1),(2),(3)可知, ?g[X1],??为?Y,??的子代数。
6.3第141页
1．解：
解：首先，判断?m是否是等价关系。任取x?I，由于x?x?0?m，因此x是自反的；任取x,y?I，若x?mx，?m?my，即x?y?a?m（a?I），则y?x??a?m，
，若xy?mx，因此?m是对称的；任取x,y,z?I（a?I），y??my,y?mz，则x?y?a?mz?b?m（b?I），于是x?z?(x?y)?(y?z)?(a?b)?m，
a?b?I，因此x?mz，可知?m是可传递的。因此，?m是等价关系。
其次，判断?m关于*是否满足代换性质。 任取x,y?I，若x?my，即存在某个p?I，满足x?y?p?m
*(x)?xk(modm) *(y)?yk(modm)
则
*(x)?(y?p?m)k(modm)1k?1?Ck0yk?Cky(p?m)1?Ck2yk?2(p?m)2?L?Ckky0(p?m)k 1k?1?yk?p?m?(Cky?Ck2yk?2(p?m)1?L?Ckky0(p?m)k?1)于是
1k?1*(x)?*(y)?p?m?(Cky?Ck2yk?2(p?m)1?L?Ckky0(p?m)k?1)?p?(Cy由于
1kk?1?Cy2kk?2(p?m)?L?Cy(p?m))?m1kk0k?1
1k?1p?(Cky?Ck2yk?2(p?m)1?L?Ckky0(p?m)k?1)?I，因此，
*(x)?m*(y)，?m关于*是满足代换性质。
综上所述，?m是U上的同余关系。 2. 解：
（1）对于+运算，在二元运算下，任取
x1,x2,y1,y2?I，验证下式是否成立
x1Ry1x2Ry2?取
??2行?
x1?x2Ry1?y211，2x1?1,x2?2,y1?1,y2??2，可知满足xRyxRy2，但|x1?x2|?|y1?y2|，
即x1?x2Ry1?y2。可知对于运算+，R不满足代换性质。
x1,x2,y1,y2?I， y1|,|x2|?|y2|
（2）对于?运算，在二元运算下，任取
若x1Ry1，x2Ry2，则必然满足|x1|?|于是|x1?x2|?|x1|?|x2|?|y1|?|y2|?|y1?y2|
y2。
可得x1?x2Ry1?由x1,x2,y1,y2取值的任意性可知，对于运算?，R满足代换性质。
3．证明：
(1) 对于?x1,x2,y1,y2，有x1Ry1,x2Ry2
由于R对?3具有代换性质，所以有(x1?x1)R(y1?y1) 由此可知：
(x1?3x1?3...?3x1)R(y1?3y1?3...?3y1)?x1?3x2Ry1?3x2??????????????????x2个x1同理可知：
x2个y1
离散数学第二版(6-7章)
