第六章 代数系统
6.1第129页
1． 证明：
任取x,y?I，g(y,x)?算*是可交换的； 任取x,y,z?I，
y*x?y?x?yx?x?y?xy?g(x,y)，因此，二元运
g(x,g(y,z))?x*(y*z)?x*(y?z?yz)?x?y?z?yz?x(y?z?yz)?x?y?z?xy?xz?yz?xyz
g(g(x,y),z)?(x*y)*z?(x?y?xy)*z?x?y?xy?z?(x?y?xy)z?x?y?z?xy?xz?yz?xyz?g(x,g(y,z))因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2．
证明：任取x,y?N,x是可交换的。 任取
?y，由x*y?x,y*x?y?x知，y*x?x*y，*运算不
(x*y)*z?x*z?xx*(y*z)?x*y?xx,y,z?N，由，知，
(x*y)*z?x*(y*z)，*运算是可结合的。
任取x?N，x*x?x，可知N中的所有元素都是等幂的。
?x，知N中的所有元素都是右么元。
*运算有右么元，任取x,y?N，x*y*运算没有左么元。
证明：采用反证法。假定e为*运算的左么元，取b?N,b?e，由*的运算公式知e*b?e，由么元的性质知，e*b?b，得e?b，这与b?e相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解：
① 任取x,y?I,x?y
x*y?x和y的最小公倍数
y*x?y和x的最小公倍数?x和y的最小公倍数
因此对于任意的x,y?I,x?y都有x*y?y*x，即二元运算*是可交换的。 ② 任取x,y,z?I,
（x*y）*z?(x和y的最小公倍数)*z?x,y,z的最小公倍数 x*（y*z)?x*(y和z的最小公倍数)?x,y,z的最小公倍数
（x*y）*z?x*（y*z)，即二元运算*是可结合的。 因此对于任意的x，y，z，都有
③ 设幺元为e
x*e?e*x?x和e的最小公倍数?x，则e?1，即幺元为1.
④ 对于所有的元素x?I，都有x*x?x，所以所有元素都是等幂的。
4．解：设X?n
① 设f是X上的二元运算，则f是一个从X?X的映射。 求X上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。 由于X2?n2，映射f的个数为n，即X上有n个二元运算。 ② 可交换即f?x,y??f?y,x? 设集合X?{1,2,3,4}，要求
n2
n2
2X上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射f的个数，
f:A?X，其中：
A?{?1,2?,?1,3??1,4??2,3??2,4??3,4?,?1,1??2,2??3,3??4,4?}
具体如下图所示：
?1,2?,?2,1??1,3?,?3,2??1,4?,?4,1??2,3?,?3,2?1?2,4?,?4,2?2?3,4?,?4,3? 3
4?1,1?X?2,2??3,3??4,4?A此时映射f的个数N4?46?4?42C4?4
推广到X有n个元素时，映射f的个数Nn③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合X?{1,2,3,4}，若幺元为1，则有
?n2Cn?n
?1,1??1?1,2?,?2,1??2?1,3?,?3,1??3 ?1,4?,?4,1??4此时的二元运算的个数相当于求映射f:A?X的个数，其中：
A?2,2??3,3??4,4?X?2,3?1?3,2? 2 ?2,4?3?4,2?4?3,4??4,3?(4?1)2映射f:A?X的个数为N?4?49
幺元为2，3，4时同理，N4?4?4?C?4914914(4?1)2
个有单位元素的二元运算。
因此集合X?{1,2,3,4}上有N4?4?4?C?4(4?1)2推广到X有n个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为Nn
5．解：任取a1,a2,a3?R ①
?C?n1n(n?1)2。
a1*a2?a1?a2
a2*a1?a2?a1?a1?a2?a1*a2
对于任意的a1,a2?R都有a2*a1?a1*a2，故二元运算*是可交换的。
?a1*a2?*a3??a1?a2?*a3?若a1a1?a2?a3
a1*(a2*a3)?a1*(a2?a3)?a1?a2?a3?1,a2??3,a3??2
?a1*a2?*a3?6，a1*(a2*a3)?0，此时?a1*a2?*a3?a1*(a2*a3)
故二元运算*是不可结合的。
不存在这样e使得任意的x?R都有x*e?x?e?x， 因此，二元运算*不含幺元。 ②a1*a2??a1?a2?/2
a2*a1??a2?a1?/2??a1?a2?/2?a1*a2
对于任意的a1,a2?R都有a2*a1?a1*a2，故二元运算*是可交换的。
a1?a2?a3a?a?2a3?a1*a2?*a3???a1?a2?/2?*a3?2?1224a1*(a2*a3)?a1*??a2?a3?/2??故二元运算*是不可结合的。
不存在这样e使得任意的x?R都有x*e?(x?e)/2?x，
a1?a2?a32?2a1?a2?a3?a1?a2?2a3244因此，二元运算*不含幺元。 ③
a1*a2?a1/a2
a2*a1?a2/a1?a1*a2
因此，二元运算*是不可交换的。
?a1*a2?*a3??a1/a2?*a3?a1/a2a3?a1 a2a3a1a3a1a1a1*(a2*a3)?a1*(a2/a3)???
a2/a3a2a2a3故二元运算*是不可结合的。
由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样e使得任意的x?R都有
x*e?e*x?x/e?x， 因此，二元运算*不含幺元。
6．设x是X中的任意元素。 由于二元运算*是可结合的， 故(x*x)*x?x*(x*x)
又对于任意的x,y?X，若x*y?y*x，则y?x 故x*x?x
即对于X中的任意元素，都有x*x?x， 所以X中的 每一个元素都是等幂的。
6.2第137页
4． 证明：
首先，U和V都只含有一个二元运算，因此是同类型的； 第二，
f的定义域是自然数集合N，值域是{0,1}，是V定义域的子集。
第三，验证是否运算的像等于像的运算。 任取x,y?N，分情况讨论： （1） x和y都可以表示成2，设x?2kk1,y?2k2，
离散数学第二版(6-7章)
